7.1 正切教学目标设计

课题：正切

寨桥初中

周芸（区基本功竞赛）

［学习目标］

1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。

2、了解计算一个锐角的正切值的方法。

［学习重点与难点］

掌握计算一个锐角的正切值的方法；了解锐角的正切值随锐角的增大而增大.

［学习过程］

一、情景创设

观察图片：你看到了什么？（他们都在向上走）

对，他们都在爬坡。我们每个人在生活中都经历过这个运动，都有亲身体验，现有两条坡路，你觉得走哪条会更累些？（B）为什么呢？（因为它更陡一些）

A B 很好，其实这位同学说的陡就是这个山坡的倾斜程度，你是怎么判断这个山坡更陡的呢？

有点难描述，我们可以把这个实际问题抽象成我们的数学问题，可以构建数学模型来解决。显示下图（让学生知道数学源于生活）

1

图（1） 图（2）

[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形

答：图 的台阶更陡，理由 （利用几何画板演示山坡的倾斜程度随着∠A的增大而增大，同时指出∠A又叫做坡角）

二、探索活动

1、思考与探索一：

除了用∠A的大小来描述坡面的倾斜程度之外，还可用哪些量来描述坡面的倾斜程度呢？

（此处，请同学交流探讨，并利用几何画板演示，单靠三角形一边的长度都不能描述坡面的倾斜程度）

①

可通过测量BC与AC的长度，再算出它们的比，

来说明台阶的倾斜程度。

（思考：BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）

答：_________________________________________.

②讨论：你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？

答：_________________________________________.

2、思考与探索二：

（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定，我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽________∽________……

根据相似三角形的性质，得：

B1C1＝_________＝_________＝……

AC1（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。

B

B3

B2

a

B1

A b C A

C2C3

C1

（3）反之：如果一个锐角的对边与这个角的邻边的比值确定了，那这个锐角的大小也确定了，对吗？为什么？（学生利用相似说明）

由此可知，∠A和这个比值是一一对应的关系，所以我们也可以用∠A的对边与它的邻边的比值来描述坡面的倾斜程度，这就是我们今天要认识的正切——锐角三角函数的一种。

2

3、正切的定义

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边。我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的_______，记作______。

即：tanA＝___

_____＝__________

（你能写出∠B的正切表达式吗？）试试看. tanB＝___

_____＝__________

结论1：互余两角的正切值互为倒数

4、牛刀小试

（1）根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。

A

C

3

13

B 5

A

B C 1

（2）求tan45°的值。

5、思考与探索三：

怎样估算任意一个锐角的正切值呢？如：65°

方法：以65°为一角构建直角三角形，65°的邻边为单位1（如1cm），

（几何画板演示，同时改变角度，提出问题：锐角的正切值是如何随着的变化而变化的？）

结论2：锐角的正切值随着的增大而增大。

三、例题解析

例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3,AB=5，求∠ACD 、∠BCD、∠ABC的正切值

C

3

B

D A

5

（学生独立完成后由学生自己上台讲解）

3

结论3：等角的正切值相等

例2

在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tanB. A

B C

（注：求正切值一定要把角放入直角三角形或找与其相等的角）

拓展：在边长为1的小正方形网格中，∠A的位置如图所示，求：tanA的值.

（注：构建直角三角形，学生知道连接CD,但要指明说明三角形ACD是直角三角形）

四、请你说说本节课有哪些收获？

1、知道了锐角的正切的定义

2、知道了有关正切的三个结论

3、知道了描述坡面倾斜程度的方法：（1）、根据坡角的大小，（2）根据坡角的对边与它的邻边的比值，也就是坡角的正切（在此明确，坡角的正切值又叫做坡度）

五、一句话和学生共勉

陡峭的山路虽然不如平缓的山路好走，但是在相等的水平距离内上升的高度更高！所以在人生的道路上，困难的往往代表着更多的机遇和更大的收获！

愿数学带给我们的不仅仅是知识，更多的是思考！

六、练习见学案

4

课后反思：由于学生的配合，整节课自感较流畅，但还有好多需改进的地方。

1、

5