三元一次方程组的解法2ppt配套的板书设计及意图

8.4

三元一次方程组的解法

掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法,并能利用它解决问题.

在学习解三元一次方程组的过程中,感受消元转化的思想.

培养学生类比学习、敢于创新的精神.

【重点】

三元一次方程组的解法.

【难点】

三元一次方程组的解法的选择.

【教师准备】

教材例1、例2演示过程图片.

【学生准备】

总结二元一次方程组的解法和解应用题的步骤.

导入一:

小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍,求1元、2元、5元纸币各多少张.

教师利用投影出示问题,让学生进行讨论,怎样解决这个问题.

师:怎样解决这个问题,同学们自然会想到列方程(组)的办法.老师相信大家会通过列一元一次方程、二元一次方程组来解决问题.不过老师想提出一个挑战性的问题,大家能用设三个未知数的方法解决这个问题吗?

[设计意图]

不在解决问题的方法上耗费时间,直接提出与本课时相关的学习内容,用提出“挑战”的方式激发学生的学习兴趣.

导入二:

某学校的篮球数比排球数的2倍少3个,足球数与排球数的比是2∶3,三种球共41个,那么这三种球各有多少个?

这里三种球的个数都是未知的,可设篮球有x个,排球有y个,足球有z个,根据等量关系,可列方程组

-

前面学习了二元一次方程组的解法,如何把这个方程组转化成二元一次方程组,进而求解呢?

[设计意图]

通过生活情境,帮助学生感知三元一次方程组的存在.同时引导性地提出了解三元一次方程组的方法.

一、三元一次方程组的定义

[过渡语]

(针对导入一)假如我们设三个未知数来解决这个问题,需要建立怎样的方程呢?

师:为解决前面的问题,如果我们设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张,可以建立哪些方程呢?

生:(思考后回答)

x+y+z=12,

x+2y+5z=22,

x=4y.

问题1 怎样才能保证各个方程中的未知数取值都一样呢?

(把三个方程组合在一起.这里暂时可以不用三元一次方程组的概念表达.)

问题2 观察上面的方程组与前面所学的二元一次方程组有何不同?

(方程组中含有三个未知数.)

[设计意图]

通过问题引入,引发学生的思考与讨论,激发学生的学习兴趣.在此基础上通过类比的方法引入三元一次方程组的概念.

问题3 什么是三元一次方程组?

含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.

[知识拓展]

本节常出现的错误是对三元一次方程的概念理解不准确,其表现形式有两种:一种是把“含未知数的项的次数为1”理解为“每个未知数的次数都是1”,误认为xy+z=0也是三元一次方程,另一种是遇到含有字母系数的方程时,容易忽略“未知数的系数不等于零”这个隐含条件,如三元一次方程ax+y+z=6中,a≠0这个条件.

二、三元一次方程组的解法

(1)思路提示:

我们知道,二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么能不能用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数,把它化成二元一次方程组呢?

(2)消元过程:

让我们看前面列出的三元一次方程组:

仿照前面学过的代入法,我们可以把

分别代入 ,得到两个只含y,z的方程:

4y+y+z=12.

4y+2y+5x=22.

它们组成方程组:

得到二元一次方程组之后,就不难求出y和z,进而可求出x.

(3)思路总结:

从上面的分析可以看出,解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.

[设计意图]

主要引导学生用“消元”思想去解三元一次方程组.这是类比思想的再次运用,是学生顺利实现知识迁移的必要条件.

三、解方程组

解三元一次方程组:

〔解析〕

方程

只含x,z,因此,可以由 消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程

组成一个二元一次方程组.

解: ×3+ ,得11x+10z=35.④

与④组成方程组

解这个方程组,得

把x=5,z=- 2代入

,得2×5+3y- 2=9,

所以y=.

因此,这个三元一次方程组的解为

[知识拓展]

解三元一次方程组和解二元一次方程组的方法一样,都是消元,但是有些特殊的三元一次方程组可以用一些特殊的解法,解题时要根据各方程的特点寻求比较简单的解法.

追问:你还有其他解法吗?

[设计意图]

单就例1而言,先消去哪个未知数建立新的二元一次方程组的方法是多种的,所以这个设问对启迪学生灵活解三元一次方程组是非常必要的.

[过渡语]

学会了三元一次方程组的解法,我们就可以利用三元一次方程组解决一些问题.

在等式y=ax2+bx+c中,当x=- 1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.

〔解析〕

把a,b,c看作三个未知数,分别把已知的x,y的值代入原等式,就可以得到一个三元一次方程组.

解:根据题意,得三元一次方程组:

-

,得a+b=1.④

-

,得4a+b=10.⑤

④与⑤组成二元一次方程组

解这个方程组,得

把

代入

,得c=- 5.

因此

即a,b,c的值分别为3,- 2,- 5.

[知识拓展]

(1)一般地,使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值,叫做三元一次方程的解;(2)三元一次方程组的三个方程的公共解,叫做三元一次方程组的解;(3)三元一次方程组的解是三个数,要将这三个数代入方程组中的每一个方程进行检验,只有这些数满足方程组中的每一个方程,这些数才是这个方程组的解.

用消元法解三元一次方程组的步骤:

利用消元法消去一个未知数,得到一个二元一次方程组;

解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;

将两个未知数的值,代入原方程组中比较简单的一个方程,求得第三个未知数的值,把这三个未知数的值写在一起,就是所求三元一次方程组的解.

1.以

为解建立一个三元一次方程,不正确的是

(

)

A.3x- 4y+2z=3 B.x- y+z=- 1 C.x+y- z=- 2 D. y- z=1

解析:将

分别代入四个选项,只有C选项的方程两边不相等.故选C.

2.若方程x+y+m=4,x- y- 2m=- 1和x- 2m+2y=2有公共解,则x+y+m的值为

.

解析:根据题意得

- -

解得

∴x+y+m=4.故填4.

-

3.如图

所示,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量;如图

所示,在第二个天平上,砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断:1个砝码A与

个砝码C的质量相等.

解析:此题可以分别设砝码A,B,C的质量是x,y,z.然后根据两个天平平衡列方程组,消去y,得到x和z之

间的关系即可.设砝码A,B,C的质量是x,y,z.根据题意,得

+ ,得2x=4z,x=2z.即1个砝码A

与2个砝码C的质量相等.故填2.

4.解方程组

-

解: + ,得5x+5y=25.④

+ ×2,得5x+7y=31.⑤

④与⑤组成方程组

解这个方程

组,得

把x=2,y=3代入

,得3×2+2×3+z=13,z=1.∴

8.4

三元一次方程组的解法

1.三元一次方程组的定义

2.三元一次方程组的解法

3.解方程组

例1 例2

一、教材作业

【必做题】

教材第106页练习第1,2题.

【选做题】

教材第106页习题8.1第2题.