建立一元二次方程解决几何问题优秀公开课教案

课题：2.6.1 应用一元二次方程

课型：新授课

年级：九年级

教学目标：

1．能分析问题中的数量关系，建立方程模型并能解决现实情景中的现实问题. 2．经历分析具体问题中的数量关系，建立方程并解决问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.21cnjy.com

3．认识方程是刻画现实世界的有效数学模型，体会方程与实际生活的联系，从而增强学生的数学应用意识和能力. 教学重点与难点：www.21-cn-jy.com

重点：寻找等量关系，将实际问题转化成一元二次方程的数学模型，并根据实际问题检验解的合理性. 难点：建立数学模型，解决实际问题．

课前准备：多媒体课件，三角板．

教学过程：

一、创设情境，导入新课

活动内容：回答下列问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？

（1）在这个问题中，梯子顶端下滑1m时，梯子底端滑动的距离大于1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？

（2）如果梯子长度是13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？

处理方式：分组讨论：（多媒体出示探究提示）

①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？

②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少．

设计意图：以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理中边长的关系为切入点，用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想．大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系对上述问题进行思考，能够在老师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果，而且也调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础．

二、自主探究，交流点拨

活动内容：（多媒体出示例1）：

例1 如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200n mile处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头．小岛F位于BC中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．【来源：21·世纪·教育·网】

已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1n mile,其中

62.449）www-2-1-cnjy-com

处理方式：该部分是学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决．在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②找准各条．．．．．．有关线段的长度关系；③建立方程模型，之后求解．【来源：21cnj*y.co*m】

教学建议：解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系．

在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：

（1）要求DE的长，需要如何设未知数？

（2）怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？

（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？

（4）选定RtDEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？

学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：

速度等量：V军舰V补给船2

而时间等量：t军舰t补给船，

所以S军舰2S补给船

三边数量关系：EFFDDE

弄清图形中线段长表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程．21·cn·jy·com

学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段：DE、EF的长，根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性．21*cnjy*com

222

（学生在以上基础上设未知数列方程,自己独立完成求解过程，学生板书，多媒体出示规范解答，强调解的合理性）2-1-c-n-j-y

解：连接DF．

∵ADCD,BFCF, ∴DF是△ABC的中位线．

∴DF∥AB，且DF1AB.

2∵ABBC,ABBC200n mile，

∴DFBC,DF100n mile，BF100n mile．

设相遇时补给船航行了x n mile，那么

DExn mile，ABBE2x

n mile，

EFABBC(ABBE)CF(3002x)n mile. 在RtDEF中，根据勾股定理可得方程

x100(3002x)，

整理，得

3x1200x1000000

解这个方程，得x12002222图中BD1002141.4，

显然DE＜BD=141.4。

1006118.4，

31006（不合题意，舍去）．

3

x2200所以，遇时补给船航行了118.4海里．

设计意图：本题对学生的数学阅读能力有较高要求，结合以前的教学经验，学生理解与解决有困难，所以设置问题串分解难点让学生参与到解决问题的过程中，从而发现题目当中的关键题意，准确的找出等量关系，让学生通过分析，经历将几何语言转化为代数语言的过程，体会根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.21*cnjy*com

三、即时训练，巩固应用

活动内容：

1．一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角的面积是多少？21世纪教育网版权所有

2．如图：在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几8cm

A P Q C 6cm B

秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？【版权所有：21教育】

3．在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？【出处：21教育名师】

处理方式：三个题目的设计从简单问题入手，第1题通过勾股定理解决直角三角形边长问题；第2题构造了一个可变的直角三角形，解决面积问题；第三题也是面积问题，在这个问题中常设道路宽为x米，其中两条长为20米，一条长为32米，但要注意路的交叉部分．21教育名师原创作品

引导学生通过转变图形进行思考：若将图中的三条路分别向上和向右平移到如图所示的位置，应怎样列方程求解？结果一样吗？哪种方法更简单？

设计意图：应用问题设置都经过精心准备．通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到列方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；寻找等量关系；正确求解并检验解的合理性．采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效果．

四、回顾总结，感悟提升

活动内容：学生从以下方面归纳总结：

1．列方程解应用题的关键；

2．列方程解应用题的步骤；

3．列方程应注意的一些问题。

处理方式：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有什么疑难问题希望得到解决，让学生在学习小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言．

设计意图：通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中；通过对三个话题的交流，加深学生利用方程解决实际问题的意识和提高解题的能力；并且通过学生间的合作学习帮助不同层次的孩子解决实际困难，增强孩子学好数学的信心．

五、达标检测，反馈提高

活动内容：

1．有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？21·世纪*教育网

北

2．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？

处理方式：在教学过程中要以学生为主体，引导学生自主发现、合作交流．通过两道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度．

设计意图：学生在前面活动中积累的经验，可以帮助学生比较顺利地分析上述问题，遇有疑难可以让学生在合作交流中解决，学生在训练过程中更加理解了建模的重要性．大部分学生能够独立解决问题．

21教育网

六、布置作业，课后促学

必做题：课本54页，习题2.9第4题．

选做题（供学有余力的学生选作）：

一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心2010海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.2·1·c·n·j·y

B A 东

北

A 东

C B 板书设计：

§2.6

应用一元二次方程（1）

情景引入：

例1 如图：某海军基地

即时训练：

1. 2. 3. 达标检测：

1. 2. 投

影

区

学

生

活

动

区