建立一元二次方程解决几何问题名师课堂实录

课题：2.3 用公式法求解一元二次方程(一) 

教学目标：

一、知识与技能目标：

①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.熟悉证明的基本步骤和书写格式。

二、过程与方法目标：

通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

三、

情感态度与价值观目标：

通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力。

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重点：能正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程。



难点：求根公式的推导过程。

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教学流程：

一、

导入新课

1、说说下列关于x的方程中各项系数.

2、法步骤方程

步骤

1.化

2.移项

3.配方

一次项系数

常数项

按配方解下列系数名称 二次项系数

3x29x20

ax2bxc0

3x29x20

ax2bxc0

1

4.开方

二、

新课讲解

探究1

1、公式的推导

bb24acx把 进一步计算你发现了什么？

2a4a2

bb24acx2a

关于x的方程的解是由方程各项的系数的代数式组成的。 试一试 3，-9，2来代替，你会发现什么呢？

bb24ac如果把 中的a,b,c 用3 xx29x202a与用配方法求的方程的结果是一样！

2一般地,对于一元二次方程

ax+bx+c=0(a≠0)

b4ac0,它的根是:2bb24acx.b24ac0.2a

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。

老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0. 三、探究理解

你能用配方法解方程 3x+2x+1=0吗? 【解析】

x2

2221x033x22111x()20339312(x)2039(x122)392092

∴原方程无解．

2、

例题

用求根公式法解一元二次方程 4x14x (1) （2） x27x180【例3】解方程：（x-2)(1-3x)=6 3、用公式法解一元二次方程的一般步骤：

（1）把方程化成一般形式，并写出a、c的值; （2）求出b-4ac的值;

特别注意:当b-4ac时无解; 222（3）代入求根公式 : bb24acx,

2a（4）写出方程的解：x1;x2 4、根的判别式

（1）当b-4ac〉0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当b-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

（3）当b-4ac〈0时，方程没有实数根。

2222所以b-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“”来表示. 即：

b24ac探究2 在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计方案吗?

1、我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程,我得到小路的宽为2m或12m. 你认为小明的结果对吗?为什么?

3

2、我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都相同你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是多少吗?

3、我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等. 你能通过解方程,帮我得到小路的宽x是多少吗?

典题精讲

如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.

四、课堂练习

用公式法解下列方程 24x14x（1）x-7x-18=0． （2）

2 五、课堂小结

在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？ 1、一元二次方程当时了ax+bx+c=0(a≠0)方程的根为: 2、用公式法解一元二次方程的一般步骤； 3、根的判别式 4、一元二次方程的在生活中应用----方案设计问题。

六、

课堂拓展

4 2bb24acx,

2a

如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．

七、达标测评

1、已知关于x的一元二次方程x+2x+m=0 （1）当m=8时，判断方程的根的情况；

（2）当m=-8时，求方程的根． 2、解下列方程: (1) x-2x－8＝0； (2) 9x＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1; 3、不解方程判断下列方程根的情况: （1）2x+5=7x （2）4x（x-1)+3=0 (3)(x+1)(3x-5)=1 (4)25x+20x+4=0 4、在一块长为16m，宽为12m的矩形荒地上建造一个花园，要求花园的占地面积是荒地面积的一半．如图是甲、乙两位同学的设计方案，请分别求出两种方案中小路的宽度．

（甲方案）在荒地四周修建等宽的小路；

（乙方案）在荒地中间修建等宽的“十字型”小路。

22222

七、布置作业

教材43页习题2.5第1、2题。。

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