5. 匀变速直线运动速度与时间的关系优质课一等奖教案

第5节

匀变速直线运动速度与时间的关系

学习目标

1.知道什么是匀变速直线运动。

2.知道匀变速直线运动的v－t图像特点，理解图像的物理意义。

核心提炼

1个定义——匀变速直线运动

1个公式——速度与时间关系公式vt＝v0＋at

3.理解匀变速直线运动的速度与时间的关系式vt＝v01个图像——v－t图像的＋at，会用vt＝v0＋at进行相关的计算。

特点及应用

一、速度与时间的关系

阅读教材第20页“速度与时间的关系式”部分，理解匀变速直线运动的v－t图像的特点；初步理解匀变速直线运动的速度与时间的关系式vt＝v0＋at。

1.速度公式：vt＝v0＋at。

2.含义：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度vt等于物体在开始时刻的速度v0加上在整个过程中速度的变化量at。

思维拓展

公式vt＝v0＋at虽然可由a＝为什么吗？

vt－v0Δv答案

a＝t＝t是加速度的定义，适用于任何形式的变速运动，而vt＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。

二、匀变速直线运动的v－t图像

阅读教材第20～21页“匀变速直线运动的v－t图像”部分，知道什么是匀变速直线运动。

1.定义：速度随时间均匀变化即加速度恒定的运动。

2.v－t图像：匀变速直线运动的v－t图像是一条倾斜的直线。

3.分类

vt－v0t变形后得到，但二者的含义不同，你知道这是

(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加。

(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小。

思维拓展

物体的v－t图像如图所示，请问：

(1)0～t1、t1～t2时间内，物体的运动情况；

(2)两段时间内物体的加速度相同吗？

答案

(1)0～t1时间内，物体做匀减速直线运动。

t1～t2时间内，物体做匀加速直线运动。

(2)两段时间内物体的加速度相同。

预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中

问题1 问题2

匀变速直线运动的速度公式

[要点归纳]

1.公式的适用条件：公式vt＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。

2.公式的矢量性

(1)公式vt＝v0＋at中的v0、vt、a均为矢量，应用公式解题时，首先应先选取正方向。

(2)一般以v0的方向为正方向，此时匀加速直线运动a＞0，匀减速直线运动a＜0；对计算结果vt＞0，说明vt与v0方向相同；vt＜0，说明vt与v0方向相反。

3.公式的特殊形式

(1)当a＝0时，vt＝v0(匀速直线运动)。

(2)当v0＝0时，vt＝at(由静止开始的匀加速直线运动)。

[精典示例] [例1]

汽车在平直路面紧急刹车时，加速度的大小是8 m/s2，

(1)如果必须在2 s内停下来，汽车的行驶速度最高不能超过多少？

(2)如果汽车以最高允许速度行驶，必须在1.5 s内停下来，汽车在刹车的过程中加速度至少多大？

思路探究

(1)汽车经过某过程“停下来”，隐含着什么条件？

(2)汽车刹车时，它的加速度是否一定为负值？

①若取初速度方向为正，则加速度为________；

②若取初速度方向为负，则加速度为________。

解析

(1)以初速度方向为正方向

汽车的加速度a＝－8 m/s2，运动时间t＝2 s，

末速度vt＝0 由公式vt＝v0＋at代入数值得v0＝16 m/s＝57.6 km/h (2)仍以初速度方向为正方向，汽车的初速度v0＝16 m/s 运动时间t′＝1.5 s，末速度vt＝0 由公式vt＝v0＋a′t′，代入数值得a′＝－10.7 m/s2，即加速度方向与初速度方向相反，大小为10.7 m/s2

答案

(1)16 m/s(或57.6 km/h)

(2)10.7 m/s2

(1)一般画出物体运动过程的示意草图，明确各种已知量和未知量。

(2)减速运动时，a与v0方向相反，注意正负。

[针对训练1]

火车沿平直铁轨匀加速前进，通过某一路标时的速度为10.8 km/h，1 min后变成了54 km/h，又需经多少时间，火车的速度才能达到64.8 km/h? 解析

三个不同时刻的速度分别为

v1＝10.8 km/h＝3 m/s、v2＝54 km/h＝15 m/s. v3＝64.8 km/h＝18 m/s

时间t1＝1 min＝60 s 所以加速度

v2－v115－3a＝t＝60

m/s2＝0.2 m/s2，

1由v3＝v2＋at2

v3－v218－15可得时间t2＝a＝0.2

s＝15 s。

答案

15 s [精典示例] [例2]

汽车以45 km/h的速度匀速行驶。

(1)若汽车以0.6 m/s2的加速度加速，则10 s末速度能达到多少？

(2)若汽车刹车以0.6 m/s2的加速度减速，则10 s末速度能达到多少？

(3)若汽车刹车以3 m/s2的加速度减速，则10 s末速度为多少？

思维导图

解析

(1)取初速度方向为正方向，

45则v0＝3.6

m/s＝12.5 m/s，a1＝0.6 m/s2，

所以10 s末的速度

v1＝v0＋a1t＝(12.5＋0.6×10) m/s＝18.5 m/s。

(2)a2＝－0.6 m/s2，减速到停止的时间

0－v00－12.5t1＝a＝

s＝20.83 s＞10 s，

－0.62所以10 s末的速度

v2＝v0＋a2t＝(12.5－0.6×10) m/s＝6.5 m/s。

(3)设刹车经t0时间就停止，末速度v＝0，a3＝－3 m/s2，

由v＝v0＋a3t0，

v－v0得t0＝a＝4.2 s＜10 s 3所以10 s末汽车的速度为零。

答案

(1)18.5 m/s

(2)6.5 m/s

(3)0

处理刹车应注意的问题

(1)明确车辆的刹车时间(车辆末速度变为零时所用的时间)。通常可由t＝算得出。并判断要研究的时长大于刹车时间还是小于刹车时间。

(2)若要研究的时长小于刹车时间，则汽车在要研究的时间段内的实际运动时间等于时长；反之，实际运动时间等于刹车时间。

(3)常见错误：误以为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动，简单套用速度公式vt＝v0＋at，得出的速度出现负值。

[针对训练2]

(2017·广东惠州三中期中)某汽车在某路面上紧急刹车时，如图1所示，刹车的加速度为6 m/s2，如果该汽车开始刹车时的速度为60 km/h，则该汽车刹车5 s时的速度为多少？

vt－v0a计

图1 解析

设汽车开始刹车时的初速度方向为正方向，

汽车开始刹车时的速度v0＝60 km/h≈16.7 m/s 由匀变速直线运动的速度公式vt＝v0＋at得，汽车从刹车到静止所用的时间t＝0－v00－16.7a＝－6

s≈2.8 s 由于2.8 s＜5 s，所以汽车刹车2.8 s后变为静止，汽车刹车5 s时的速度为0。

答案

0

速度—时间图像

[要点归纳]

1.匀速直线运动的v－t图像

如图甲所示，由于匀速直线运动的速度不随时间改变，因而v－t图像是一条平行于时间轴的直线。从图像中可以直接读出速度的大小和方向。

2.匀变速直线运动的v－t图像

如图乙所示，匀变速直线运动的v－t

图像是一条倾斜的直线。

(1)直线a反映了速度随着时间是均匀增加的，为匀加速直线运动的图像。

(2)直线b反映了速度随着时间是均匀减小的，为匀减速直线运动的图像。

(3)直线c反映了速度随着时间先均匀减小，后均匀增加，由于加速度不变，整个运动过程也是匀变速直线运动。

3.v－t图像的应用

图线上某点的纵坐标

图线的斜率

绝对值

图线与坐标轴的交点

图线的拐点

两图线的交点

[精典示例] [例3]

如图2所示为A、B两个物体做匀变速直线运动的v－t图像。

纵截距

横截距

表示加速度的大小

表示初速度

表示开始运动或速度为零的时刻

表示加速度改变

表示速度相等

正负号

绝对值

正负号

表示瞬时速度的方向

表示瞬时速度的大小

表示加速度的方向

图2 (1)A、B各做什么运动？求其加速度；

(2)两图线的交点的意义是什么？

(3)求1 s末A、B的速度；

(4)求6 s末A、B的速度。

思路探究

vt－v0解析

(1)A物体沿规定的正方向做匀加速直线运动，加速度的大小a1＝t＝8－222

m/s＝1 m/s，加速度的方向沿规定的正方向；B物体前4 s沿规定的正方向68做匀减速直线运动，4 s后沿反方向做匀加速直线运动，加速度的大小a2＝4

m/s2＝2 m/s2，加速度的方向与规定的正方向相反。

(2)两图线的交点表示此时刻两个物体的速度相同。

(3)1 s末A物体的速度大小为3 m/s，方向与规定的正方向相同；B物体的速度大小为6 m/s，方向与规定的正方向相同。

(4)6 s末A物体的速度大小为8 m/s，方向与规定的正方向相同；B物体的速度大小为4 m/s，方向与规定的正方向相反。

答案

见解析

应用v－t图像的三点注意事项

(1)正确认识v－t图像，从图像中读出需要的信息是解题的关键。其中图线在t轴

以上部分说明速度为正方向，图线斜率k＞0，加速度为正，图线斜率k＜0，加速度为负。

(2)物体的速度变为负值，表示物体运动方向发生了变化，负号不表示速度的大小。

(3)v－t图线为直线且跨过t轴，表示物体的速度方向发生了变化，但加速度方向不变；分段分析可知物体先做匀减速直线运动至速度为零后反向做匀加速直线运动，全程物体做有往复的匀变速直线运动。

[针对训练3]

甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动的v－t图像如图3所示，下列判断正确的是(

)

图3 A.在6 s内甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动

B.两物体在1 s末相遇

C.乙在前2 s内做匀加速直线运动，2～6 s做匀减速直线运动

D.2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反

解析

据图像可知，甲以2 m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2 s内做匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s，在2～6 s内做匀减速直线运动，加速度a2＝－1 m/s2，t1＝1 s时，甲、乙两物体只是速度相同，未相遇。在6 s内，甲、乙两物体的速度方向始终相同。只有选项C正确。

答案

C

1.(多选)关于匀变速直线运动，下列说法中正确的是(

) A.匀变速直线运动的加速度恒定不变

B.相邻的相同时间间隔内的位移相等

C.在任何相等的时间Δt内的速度变化Δv都相等

D.速度与运动时间成正比

解析

匀变速直线运动是加速度不变的直线运动，A正确；由于物体的速度不断变化，不同时间段的平均速度一般不同，所以相邻的相同时间间隔内的位移一般不相等，B错误；由于速度随时间均匀变化，所以任何相等时间Δt内的速度变化Δv都相等，C正确；根据速度公式，速度与运动时间为一次函数，但不是正比关系，D错误。

答案

AC 2.(多选)关于匀变速直线运动中加速度的正负，下列说法中正确的是(

) A.匀加速直线运动中，加速度一定是正值

B.匀减速直线运动中，加速度一定是负值

C.在匀加速直线运动中，加速度也有可能取负值

D.只有在规定了初速度方向为正方向的前提下，匀加速直线运动的加速度才取正值

解析

加速度的正负取决于正方向的选取，加速度方向与规定的正方向相同时加速度为正值，反之为负值，所以无论是匀加速运动还是匀减速运动，加速度有可能是正值，也有可能是负值；选项A、B错误，C正确；当规定初速度方向为正方向时，匀加速直线运动中的加速度与速度方向相同，故取正值。所以，选项D正确。

答案

CD 3.一辆匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用5 s时间，汽车的加速度为2 m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15 m/s，则汽车经过第1根电线杆的速度为(

) A.2 m/s

B.10 m/s

C.2.5 m/s

D.5 m/s 解析

根据vt＝v0＋at，得v0＝vt－at＝15 m/s－2×5 m/s＝5 m/s，D正确。

答案

D 4.一个做匀变速直线运动的质点的v－t图像如图4所示，由图线可知其速度与时间的关系为(

)

图4 A.vt＝(4＋2t)

m/s

C.vt＝(－4－2t) m/s

B.vt＝(－4＋2t) m/s D.vt＝(4－2t) m/s 解析

由v－t图像可知v0＝－4 m/s，a＝2 m/s2，所以由vt＝v0＋at可知，vt＝(－4＋2t) m/s，B正确。

答案

B 5.(多选)亚丁湾索马里海盗的几艘快艇试图靠近中国海军护航编队保护的商船，中国海军发射爆震弹成功将其驱逐。假如其中一艘海盗快艇在海面上的速度—时间图像如图5所示，则下列说法中正确的是(

)

图5 A.海盗快艇行驶的最大速度为15 m/s B.海盗快艇在66 s末开始调头逃离

C.海盗快艇在0～66 s做的是加速度逐渐减小的加速运动

D.海盗快艇在96～116 s内做匀减速直线运动

解析

从v－t图像上得知海盗快艇行驶的最大速度为15 m/s，在0～66 s内v－t图线的斜率逐渐减小，故加速度逐渐减小，选项A、C正确；在66 s末海盗快艇速度方向没变，速度大小减小，选项B错误；在96～116 s内海盗快艇调头做匀加速直线运动，选项D错误。

答案

AC

基础过关

1.下列有关对匀变速直线运动的认识，其中观点正确的是(

) A.物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动

B.加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动

C.加速度不变的运动就是匀变速直线运动

D.匀变速直线运动的加速度是一个恒量

解析

匀变速直线运动的速度大小时刻在发生变化，在相等的时间里通过的位移一定不会相等，选项A错误；匀变速直线运动的加速度大小和方向都不能变化，是恒量，选项B错误，D正确；加速度不变且轨迹是直线的运动才是匀变速直线运动，选项C的说法也是错误的。

答案

D 2.在运用公式vt＝v0＋at时，关于各个物理量的符号下列说法中正确的是(

) ①必须规定正方向，式中的vt、v0、a才能取正、负号

②在任何情况下a＞0表示做加速运动，a＜0表示做减速运动

③习惯上总是规定物体开始运动的方向为正方向，a＞0表示做加速运动，a＜0表示做减速运动

④v的方向总是与v0的方向相同

A.①③

B.②④

C.①②

D.③④

解析

习惯上我们规定v0的方向为正方向，当a与v0方向相同时a取正号，a与v0方向相反时a取负号，像这种规定我们一般不作另外的声明，但不说不等于未规定，所以①③正确，②错误；由vt＝v0＋at可以看出当a取负号时，v的方向与v0方向可能相同也可能相反，④错误。

答案

A

3.做直线运动的物体在第1 s末、第2 s末、第3 s末……的速度分别为1 m/s、2 m/s、3 m/s……，则此物体的运动性质是(

) A.匀变速直线运动

B.非匀变速直线运动

C.加速度不断增大的运动

D.可能是匀变速直线运动，也可能是非匀变速直线运动

解析

虽然每秒内速度的变化量是相等的，但运动过程中某些时刻的速度不能确定，而匀变速直线运动是在任意相等时间内速度的变化都相同，所以对物体的运动性质不能确定，可能是匀变速直线运动，也可能是非匀变速直线运动。

答案

D 4.如下图所示，是几个质点的运动图像，其中是做匀变速运动的是(

)

A.甲、乙、丙

C.甲、丙、丁

B.甲、乙、丁

D.乙

解析

匀变速直线运动的速度—时间图像为倾斜直线，故所给图中甲、丙、丁表示物体做匀变速直线运动，C正确。

答案

C 5.2015年2月9日报道，由于发射卫星耗资巨大，必须建造火箭——通常是在返回大气层或坠入海洋时四分五裂。还要耗费大量燃料推动沉重的金属物体在地球大气中飞行。科学家正在研发一种解决方案，利用一架喷气式飞机发射一个高效的小型推进系统，把卫星送入近地轨道。已知卫星必须达到8 000 m/s才能达到预定轨道，发射时喷气式飞机运行了16.7 min。则喷气式飞机的加速度为(

)

图1 A.6 m/s2

B.8 m/s2

C.10 m/s2

D.12 m/s2

解析

根据公式vt＝at可得，加速度为8 m/s2，选项B正确。

答案

B 6.如图2所示为某质点的v－t图像，则下列说法中正确的是(

)

图2 A.在0～6 s内，质点做匀变速直线运动

B.在6～10 s内，质点处于静止状态

C.在4 s末，质点向相反方向运动

D.在t＝12 s末，质点的加速度为－1 m/s2

解析

质点在0～4 s内做加速度为1.5 m/s2的匀加速直线运动，在4～6 s内做加速度为－1 m/s2的匀减速直线运动，在6～10 s内以4 m/s的速度做匀速运动，在10～14 s内做加速度为－1 m/s2的匀减速直线运动。综上所述只有选项D正确。

答案

D 7.汽车在平直公路上以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，刹车时的加速度大小是2 m/s2。则汽车：

(1)在3 s末的速度大小是________m/s；

(2)在5 s末的速度大小是________m/s；

(3)在10 s末的速度大小是________m/s。

v0解析

(1)由速度公式vt＝v0－at，可得：汽车停下的时间t＝a＝5 s，则3 s＜5 s，故在3 s末汽车的速度大小为4 m/s。

(2)在5 s末汽车的速度刚好为零。

(3)10 s＞5 s，故汽车在10 s末静止不动，此时速度为零。

答案

(1)4

(2)0

(3)0 能力提升

8.一家从事创新设计的公司打造了一台飞行汽车，既可以在公路上行驶，也可以

在天空中飞行。已知该飞机在跑道上的加速度大小为2 m/s2，速度达到40 m/s后离开地面。离开跑道后的加速度为5 m/s2，最大速度为200 m/s。飞机从静止加速到最大速度所用的时间为(

)

图3 A.40 s

B.52 s

C.88 s

D.100 s Δv1解析

在地面上的匀加速时间t1＝a＝20 s，离开地面后速度由40 m/s增加到200 1Δv2m/s，加速度为5 m/s2，加速时间t2＝a＝32 s，所以总时间为52 s，B正确。

2答案

B 9.如图4所示是甲、乙两质点的v－t

图像，由图可知(

)

图4 A.t＝0时刻，甲的速度大

B.甲、乙两质点都做匀加速直线运动

C.相等时间内乙的速度改变大

D.在5 s末以前甲质点速度大

解析

在t＝0时刻，甲的速度为零，A错误；由图可知，二者速度都均匀增大，B正确；由图可知a甲＞a乙，所以相等时间内甲的速度变化大，C错误；在0～5 s内，乙速度大，D错误。

答案

B 10.一辆车由静止开始做匀变速直线运动，在第8 s末开始刹车，经4 s停下来，汽车刹车过程也在做匀变速直线运动，那么前后两段加速度的大小之比是(

) A.1∶4

B.1∶2

C.2∶1

1D.4∶1 2vv解析

设前后两段的加速度大小分别为a1、a2，则a1＝t，a2＝t，所以a1∶a2＝

t2∶t1＝1∶2。选项B正确。

答案

B 11.如图5所示是某质点做直线运动的v－t图像，请回答：

图5 (1)质点在AB、BC、CD段各做什么运动？

(2)AB、CD段的加速度各是多少？

(3)质点在5 s末的速度多大？

解析

(1)AB、CD段的v－t图像是倾斜直线，说明这两段时间速度是均匀变化的，故质点在这两段做匀变速直线运动，AB段是匀加速，CD段是匀减速；BC平行于t轴，质点做匀速直线运动。

Δv(2)由加速度的定义式a＝Δt得：

vB－vA4－2aAB＝t＝2

m/s2＝1 m/s2

AB同理可得CD段的加速度

vD－vCaCD＝t＝－2 m/s2

CD(3)由图像知5 s末的速度

v5＝vc＋aCDt＝4 m/s＋(－2 m/s2)×1 s＝2 m/s 答案

(1)见解析

(2)1 m/s2

－2 m/s2

(3)2 m/s 12.磁悬浮列车由静止开始加速出站，加速度为0.6 m/s2，2 min后列车速度为多大？列车匀速运动时速度为432 km/h，如果以0.8 m/s2的加速度减速进站，求减速160 s时速度为多大？

图6 解析

取列车运动方向为正方向。

(1)v1＝v0＋a1t1＝(0＋0.6×120) m/s ＝72 m/s＝259 km/h (2)列车减速进站时a2＝－0.8 m/s2

v2＝432 km/h＝120 m/s 从刹车到速度为0的时间

－v2－120t0＝＝

s＝150 s a2－0.8所以160 s时列车已经停止运动，速度为0。

答案

259 km/h

0