猜想、证明与拓广公开课参赛课教案

教案设计：《反比例函数》复习——设参量

助转化

教案设计：石室联合中学

王继承

【教学目标】

1．结合反比例函数解析式与图象了解参量的概念及用法；

2．学会使用参量表达点的坐标、线段长度、图形面积、比值等，体会参量“搭桥过河”的辅助作用；

3．感受和领悟数形结合思想、参数思想、转化思想．

【教学过程】

一、问题引入

已知反比例函数y点B的横坐标为2．

Q1：如何求点A、B的坐标？

________________________________________ Q2：如何求S△AOB？

________________________________________

2的图象如图所示，在第一象限曲线上有A、B两点，点A的横坐标为1，xyABOx

二、课堂探究

◎探究一 ——设参量

求面积

如果将上题条件改成：点B的横坐标是点A的横坐标的两倍（其它条件不变），你还能求出△AOB的面积吗？请试一试，并与同伴交流．

参量：在数学领域中，参量指的是在一个变化过程中，为了y

明确表达，辅助计算而人为设定的一个量，这个量可以是常量，A

也可以是变量，我们一般用小写字母a、b、m、n等来表示，它B

参与运算但不影响运算结果，似乎起到一个“搭桥过河”的辅助

作用．

Ox

例如我们以前学过的“见比设k ”就是一种典型的设参思想．

通过上题想一想，在平面直角坐标系中，一般设什么为参量呢？为什么？

1 设计意图：由反比例的k为一个具体的数入手，这里k＝2，点A的横坐标为1，点B的横坐标为2，在数的情况下表示出点的坐标和三角形面积，为后面设参数作前辅

归纳总结：

一般设______________________为参量．

“点B的横坐标是点A的横坐标的两倍”，学生

设计意图：k仍然等于2，但坐标改成：

只有用字母（或叫参数，在此环节要给出参数的定义）来表示这个横坐标的倍数关系，

然后才能表示出点的坐标，然后顺势表示出线段的长度，然后表示出三角形面积。这里

是让学生感受设参及参数的搭桥作用，感受求解过程及求解顺序．设计难度简易．

对参量有一定了解之后我们来思考以下变式：

〖变式1〗如图，将上图中的线段AB变成直线l，直线l与反比例函数y2在第一象限内的x图象交于A、B两点，与x轴的正半轴交于C点，若AB∶BC＝3∶1，求△OAB的面积．

〖变式2〗若再将“y

归纳总结：

设__________表__________表__________求__________．（最后参量m被______）

2k”变为“yk0”，则S△OAB

．

xx

设计意图：探究到此，我对原例题再作变式或提升，所以接连设计两个变式：变式1着重体现

“见比设k”，因为“见比设k”是我们经常使用的设参方法，只是之前没有强化k是参数；变

式2把反比例系数由数“2”改成字母，提升难度，需引导学生解决，其基本思想和方法是没

有变的，按照前例的解题步骤进行计算，由学生归纳步骤，该步骤是：设参数——表坐标——

表线段——求面积，强化参数参与运算但不影响结果的“搭桥”作用．这两个变式图是在前图

的基础上在把线段AB延长变成直线AB．设计难度中等．

◎探究二

——设参量

求比值

2

在矩形AOBC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且C（4，3）．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数ykk0的图x象与AC边交于点E．探究tanEFC的值是否是定值？

y

ECA

F

OBx

继续探究：

Q1：如果连接AB，请问EF与AB有何位置关系？为什么？

Q2：请问△CEF与△CAB是否相似？为什么？

设计意图：本节课设计了两个探究，探究一主要是设参数计算线段计算面积，探究二主要是设

参数证明相似或平行．探究二中的例题图在探究一的例题图上又有一定变化，添加了一个矩形，

tanEFC的值是否是定值，然后探究两直线关系，两三角形关系，仍可用前例设参的方法探究

探究二中的例题设计得更加灵活，而且增加了证明环节，但基本思想和方法是没有变的，可按

照前例的解题步骤进行计算和证明．

〖变式1〗（2014•呼和浩特）如图，已知反比例函数yk（k＞0，x＞0）的图象经过点A和x点B，其中点B在点A的下方，作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．求证：△ACB∽△MCN．

y

A

NBC

OMx

3

〖变式2〗如图，若将变式1中A、B两点分别放在反比例函数ykk0的图象的两个分x支上，其它条件类似，则△ACB∽△MCN的结论是否仍然成立？请说明理由．

y

M

A

O

CNBx归纳总结：

设__________表__________表__________求__________证__________．

设计意图：探究到此，我对例题再次进行变式和提升，所以又接连设计两个变式：变式1

中的点A点B在第一象限的一支曲线上，点A点B的横纵坐标统一为正，变式2中的点A

点B分别在第二和第四象限的两支曲线上，两点的横纵坐标有正有负，同学们在设参后表

示线段时要特别小心，但基本的解题思想方法是没有变的，可按照前例的解题步骤进行计

算和证明．最后由学生对步骤进行归纳总结：设参数——表坐标——表线段——求比值—

—证相似．设计难度较难．

纵览以下几幅图，从上面的探究中你能得出哪些共通性的结论？与同伴交流．

yyy

MC

AACAM

NOxB

NONxB

CBOMx

结论：__________________________________________________________________．

设计意图：设计这个环节是想对此种类型的题进行归纳提升，希望同学们能找出这类图形

的共通性的东西．提高他们对这类题型的理解，加深对这类图形的印象．老师不需详讲，

由学生简单总结即可．

4

三、能力拓展

（注：此题根据课堂教学实际情况选择使用）

（2012·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与k（k为常数，且k0)在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，xBE1过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若．记△CEF（m为大于l的常数）BFmS的面积为S1，△OEF的面积为S2，则1＝__________．

(用m含的代数式表示) S2反比例函数y

y

BEC

M

F

ONA

设计意图：此中考题的设计用于调节时间，也提高学生的解题兴趣，若时间不够作为课外

延伸练习，若时间有剩则课内思考完成，其基本的解题思想和方法不变，若时间有剩还可

由学生多总结两种解题方法．

四、课堂总结

1．数学思想：__________________________________________________；

2．解题方法：__________________________________________________．

设计意图：本环节是全课的归纳总结，本课的设计是想在整个教学过程中渗透一些数学思想，比如：参数思想，数形结合思想，转化思想，并且使学生能充分理解如何设参数对较复杂问题进行转化

x

5