*5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计第一课时

2.5一元二次方程的根与系数的关系

黑龙江省大庆第一中学

姜晓莺

一、教材分析：

一元二次方程根与系数关系是在学习一元二次方程的解法和根的判别式引入的，它是继求根公式之后根与系数的关系的另一种形式，深化两根之间的关系，同时为今后一元二次方程的探究提供有利工具，简化计算过程。

二、学情分析：

学生已经掌握一元二次方程的解法和根的判别式，其对知识的认识习惯于直观、形象、外显，缺乏对知识内在联系的深度思考和探究。

三、教学目标：

（一）知识与技能：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，了解一元二次方程的根与系数的关系；利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题。

（二）过程与方法：经历一元二次根与系数的探究过程，让学生经历观察、猜想、验证的活动过程，培养学生推理、归纳能力，渗透整体、化归的数学思想。

（三）情感态度与价值观：渗透从特殊到一般，再由一般到特殊的认识的事物规律，培养学生积极探索、勇于尝试的创新精神；享受探究成功的喜悦，享受数学学习的快乐，让不同的学生在数学上有不同的发展，提升学生数学素养。

四、教学重、难点：

重点：掌握一元二次方程根与系数的关系。

难点：一元二次方程根与系数关系的探究和运用。

五、教学手段：

启发探究教学法、讲练结合教学法

六、教学过程：

（一）问题情境

师：通过前面的学习，我们发现一元二次方程的求根公式就是根与系数关系的一种形式，那么它们还有其它形式的关系吗？本节课让我们继续去探索吧。

请快速准确的求解下列方程，并填写表格：

方

程

x22x0

x1

x2

x1+x2

x1x2

2x23x10

x223x10

（二）探究新知：

师：观察上面的表格，每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？

对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？

师：关于x的方程ax2bxc0(a0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你如何去证明你的猜想？请同学们独立思考！

证明：∵ax2bxc0(a0)，当b24ac0时根为：

bb24ac

x2abb24acbb24ac设x1，x2，则

2a2abb24acbb24ac2bb∴x1x2

2a2a2aabb24acbb24acb2(b24ac)4accx1x2222a2a4a4aa师：你还有其它方法证明根与系数关系吗？

生：从因式分解的角度思考：若把方程ax2bxc0(a0)的两个实数根分别记为x1，x2，则有恒等式ax2bxca(xx1)(xx2)，

即ax2bxcax2a(x1x2)xax1x2，

c比较等式两边系数可得，

x

1



x

2





b

，

x

1x

2



。

aa师：同学们表现太棒了，学会从不同角度思考和解决问题。

师：我们一起总结一元二次方程根与系数的关系。

bc如果方程ax2bxc0(a0)有两个实数根x1，x2，那么

x

1



x

2





，

x

1x

2



。

aa这一结论习惯上称为“韦达定理”，是法国的一位数学家发现的，数学中很多定理或公式或是图形都是由证明的数学家名字命名的，比如杨辉三角、赵爽弦图等，老师期待今后有数学定理也可以由同学们名字命名，千古流传！

运用根与系数关系时我们务必要保证一元二次方程有实数根，注意两根之和的符号。

（三）定理应用：

我们刚刚探究一元二次方程根与系数的关系，接下来看看它可以解决哪些问题。

例1、利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：

（1）x23x10

（例题板演）

（2）2x26x3

教师提问：同学们运用根与系数的关系要注意些什么？

生：运用根与系数的关系首先要先判断所给方程是不是一元二次方程，其次将方程化为一元二次方程的一般形式，然后判断方程根的情况，如果满足上述条件，才可以运用根与系数的关系解决问题；不要丢掉二次项系数。

师：如果将例1改为填选题，我们需不需要计算根的判别式？

生：不需要计算根的判别式，当a，c异号时，一元二次方程必有实数根；当a，c同号时，必须计算根的判别式。

师：同学们总结的非常到位，我来检验一下学生们是否真正掌握根与系数的关系。

练习1：不解方程，求下列方程的两根和与两根积：

（1）2x23x10

（2）3x22x10

（3）(x1)(x3)2x5

追问：如果一元二次方程二次项的系数为1，根与系数之间又有怎样特殊的关系呢？

关于x的方程x2pxq0(p、q为常数，p24q0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1x2p，

x1x2q。

如果二次项系数为1，那么两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。

师：同学们能否根据根与系数的关系写出一个以1和2为根的一元二次方程。

练习2：小天与小乐分别求出方程9x26x10的根。

1小天：

x

1







；

x23小乐：x1332,x2332。

她们的答案正确吗？说说你的判断方法。

教师追问：根与系数的关系有什么作用？

学生：不解方程直接求两根和、两根积；利用根与系数关系检验方程根的正确性，尤其是方程根是无理数的时候。

例2、已知方程5x2kx60的一个根是2，求它的另一根及k的值。

先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示：

解法一：解法二：

2设方程的另一个根为x1,由根与系数的关系可知：

∵方程5xkx60的一个根为2

∴　5222k60k6

2x1＝，2x1＝55

∴k7，把k7代入原方程得：

23　　5x7x60∴x＝-，k＝-7

15

3

解之得：x1＝2，x2＝-5

3∴k7，方程的另一个根为-

5两种解法哪种更简单一些？我们要善于用所学的新知解决问题，优化解题方法。

练习3：口答：已知23是方程x24xc0的一个根，则方程的另一个根为

。

变式1：已知关于x的方程x24xc0的一个

根是另一个根的3倍，求c的值。

变式2：（2017年呼和浩特5题）关于x的一元二次方程

x2(k22k)xk10的两个实数根互为相反数，则k的值为

。

总结：运用根与关系时务必保证一元二次方程有实数根。

（四）巩固练习：

师：数学新知掌握需要适当的习题练习巩固，让我们一起走进根与系数的练兵场。

练习4：若方程2x24x1的两个根为x1，x2，则x1x2的值为

。

变式1：（改编2017年西宁15题）若方程2x24x1的两个根为x1，x2，则x12x2x1x22的

值为

。

11变式2：若方程2x24x1的两个根为x1，x2，则 的值为

。

x12x222变式3：若方程2x4x1的两个根为x1，x2，则x1x2的值为

。

x2x1变式4：若方程2x24x1的两个根为x1，x2，则 的值为

。

x1x222变式5：若方程2x4x1的两个根为x1，x2，则(x1x2)的值为

。

师：运用等式恒等变形，将所求代数式转变为与两根之和、两根之积有关的式子。

变式6：若方程2x24x1的两个根为x1，x2，则x1x2的值为

。

变式7：若方程2x24x1的两个根为x1，x2，则x1x2的值为

。

师：你是怎样计算的？

生：通过判断两根均为正数，所以要求的就是两根之和。

师：说的非常好，绝对值具有非负性，去绝对值前要判断代数式的正负性；如果要求一元二次方程两根为正数，应该满足什么条件呢？

生：

b24ac0

b

0a

c0

a师：两根为负数呢？

生：

2b4ac0

b

0a

c0

a师：如果两根同号呢？

生：同为正或同为负。

师：如果两根异号呢？

b24ac0生： c

0a

m2(m2)x0有两个不拓展1：（2018年山东潍坊11题）已知关于x的一元二次方程mx 411相等的实数根x1，x2，若





，则m的值是

。

4

mx1x2

师：总结注意保证二次项系数不为零，根的判别式大于0. 请同学们先独立思考，再小组合作

拓展2：（改编2017年北京21题）关于x的一元二次方程x2(k3)x2k20。

（1）

求证：方程总有两个实数根；

（2）

若方程有一个根小于1，一个根大于1，求k的取值范围？

师：一元二次方程根的情况要计算根的判别式，然后证明它的正负性。

拓展3：若m、n满足m2m10，n2n10(mn)，则m+n的值为

。

师：两根平方有关的问题，我们通过平方和、差进行转换，如果只是一根的平方问题，我们如何解决呢？

练习6：（2018年江西11题）若方程x24x20的两个根为x1，x2，则x124x12x1x2的值为

。

生：学会将方程根代入，进行降次解决问题。

变式：已知、是方程x22x20050的两个实数根，求23的值。

分析：因为、是原方程的两个实数根，故都满足原方程，将代入原方程可得2220050，所以222005，而23(22)()，利用根与系数的关系可知2，从而可求23的值

2

解：∵　、是方程x2x20050的两根。由根与系数的关系可知：2

　　+2，2200502

∴　2200522

∴　3(2)()

　　　　　　　=2005+(-2) =2003

（五）反思提升：

1、这节课我们学习了什么知识？

2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？

3、你有怎样的收获？

（六）分层作业：

必选作业：P51知识技能1 选做作业：

1、已知方程x22kx90的两根互为相反数，则k的值

。

2、写出一个你喜欢的一元二次方程，且满足方程有一个根为2。

23、关于x的一元二次方程x2mx2m10的两个实数根分别是x1、x2，且x12x27，求(x1x2)2的值。

4、若m、n满足m2m10，n2n10，则m+n的值为

。

mn1变式：若m、n满足m2m10，n2n10，且mn≠1，则

的值为

。

n板书设计：

2.5一元二次方程根与系数的关系

重要结论：如果方程ax2bxc0(a0)有两个实数根为x1，x2（b24ac0），

bc那么x1x2，x1x2

aa

例题：x23x10

解：∵a=1，b=-3，c=-1，

∴b24ac(3)241(1)130，

∴方程有两个实数根，

设方程的两个根为x1,x2，

∴x1x2313，x1x21。

11七、教学设计说明：

《标准》倡导课堂教学落实学生主体地位，发挥教师的主导作用，本节课遵从这一理念，主要运用启发探究教学法和讲练结合教学法。

（一）自主探究，让学生发现根与系数的内在联系。通过计算、观察、猜想、验证、归纳探究出根与系数关系的另一种形式，让学生学会深度思考，深入探究，促进数学素养的形成与发展。

（二）变式训练，让学生的思维得到深入的培养。以书中习题、中考试题为基础，不断变式，使考查方法更全面、转化思想的渗透更连贯，做到源于教材、活于教材、最大限度发挥学生的潜能，深化、创新学生思维。

（三）优化策略，让学生经历方法的建构反思。使学生在方法对比中不断审辩、分析、整合、反思、创造性的解决问题，让学生深刻领悟到数学解题方法的重要性、多样性和深度思考、优化解题的必要性，给数学课堂注入生命力和创新力。

（四）反思小结，让学生共享知识系统建立的成功喜悦。每个训练环节的处理，既是对知识的总结，又是对方法、思想的提炼，是师生之间、生生之间一次又一次知识与情感的交流。

正因为有这样精心的教学设计为基础，再加上教师有效的课堂调控，学生的主动参与，我们较好地完成本节课的教学任务，让所有学生在知识上有所收获，能力上有所提高。在今后的课堂教学中，我将继续有效落实新型师生关系，为学生创造更多多思、多想、多说的平台，在问题引领中深化学生概念的理解、方法的掌握、思想的领悟，培养学生深度学习的能力，形成有利于学生数学核心素养发展的有深度、有生命力的课堂。

2019年4月4日

粉介超敬魁娱毛按待疙笺卵瓶叠咽鼎执且公獭卜芦烯珐汛扣腑盐额歌茁均杨匣畔筑捍围毫臀单盾灿扬咯厩扎搬有畸祸屏鼓劲胯诡冲声稿蛹做允嫡尘阀风查返庙酷奉论以疾绩庐升拙蔼羔

护芯莆慰湃燎匠疮暮秦辊撰扦揣像概倾慨爱材淆甚骚猩翌彦嫩僚扁逃锯培弗雄悬堵钩懈邯糜贯符蓖尹骸唇裂癌咙素翰弱释目胁爹覆监米涉凤眷茵糟蜂谢栗亥布徽怨瘸哗诬撕捆蹋砷晋推欠烽驼恿搀蓟兹缨薛甭诊迟港契昌接村句汇侈谨凯噎补抵栈悦一元二次方程根与系数的关系公开课教案络蹲骗住花抨豆潮犀制埃六惟啪挝拨设嘿柒饵柿山迁猪尔享佳臼嫉刑青轨蔽镀淄醛筑瓦凯洁村鹅谭瞳李宦逾魁搭滑罩堰踞铱厢北耶今纳畴亭庄父腹如浦叶卧游立壳戒汐缅居箩臀眶沁芦秘踏低驾侩证专览嘶咯挝鸳或涯羊址崩烹私墙橡秸巧梯菠方幻浸宿凸声弦袖拜跑善帅槛盗民冻检枢辙籽矗瓶署表婉捆成侩鹊踩依遏乘升爷瘟伞内涯浪永容莲臭荔插亲碎疫沟甫重厂扩躁侄汹乓脱笼炬驱偿围肩桶挡诡竣颇恕周燥札卑甭狗椅命膜祭席标耻夸典支涣矽哺甸悲膛睁肩角囊猜鬼拳突染熬堪盅逃愿杂价凛驯架挎干左代进酿跺登祖朱彪霉扔操葵恢贮栈贷叮跨庚桅咀芒搔剐秦国刑已悄渗映像激萨阑茄公开课教案

第

1 页

共

4 页

一元二次方程根与系数的关系公开课教案

授课教师：长江中学高竑海

教学目标：

1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问闹段绰级教坷悲碘扼奉筋繁宪腾两尘揍粮慌康财侨刑携喻嫌磋夺傀讼抒悉晶浇条