1.2.2 极坐标系与直角坐标的关系优秀公开课教案

选考中《坐标系》问题的考点分析

沈阳市第五中学

郑丽

知识图表：

平面直角坐标系

平面上的

坐标系

极坐标系

坐标系

柱坐标系

空间中的

坐标系

直角坐标系

球坐标系

曲线的极

坐标方程

直角坐标系中的伸缩变换

圆的极坐

标方程

直线的极

坐标方程

命题趋势：

本章内容为选考内容，是解析几何初步、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，极坐标和参数方程是重要内容，对于柱坐标系、球坐标系只作了解就行，特别是直线、圆、椭圆的参数方程、极坐标方程是考查的重点。在高考中题型为解答题，但难度不大，能灵活转换即可。

考点剖析

考点一：平面直角坐标系

1、平面直角坐标系

（1）根据问题的几何特征，建立适当的坐标系主要兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴（对称中心）正好是坐标系中的x轴，y轴（坐标原点）. （2）坐标系的建立要尽量使我们研究的曲线的方程简单. 2、平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点在变换 X=a·x 的作用下，点P(x,y)对 Y=b·x 应点Q(X,Y)称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.

1

例1：说出由曲线ytanx得到曲线y3tan2x的变换过程，并求出坐标伸缩变换。

解：ytanx的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1，得到ytan2x，再2将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y3tan2x。

设y'3tanx'，变换公式为

x'x,0

'yy,0将其代入y'3tanx',并与y3tan2x比较，

'13xx可得1，2

'2y3y考点二：极坐标与直角坐标的互化

3、极坐标系

定义：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox、一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系O点称为极点，Ox称为极轴。平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画.这两个数组成的有序数对(,)称为点M的极坐标. 称为极径，称为极角。

4、极坐标与直角坐标的互化

互化的前提条件必须两种坐标系有如下对应关系：

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系下取相同的单位

互化公式为

222xyxcos，y

tanysinx对于tan=y中的值的确定，还要根据点(x,y)所在的象限，确定一个适合的角度. x2)化成直角坐标形式. 3例2（1）把点M的极坐标(4,-（2）

把点M的直角坐标(-1,1)化为极坐标形式（限定≥0,-<≤）.

2

解：（1）由转换公式xcosysin 得x=4cos(-23)=-2 , Y=4sin(-23)=-23, 即点M的直角坐标为(-2, -23). 2x2y（2）由2tany

x得=(1)212=2,tan=11=-1, =334,即点M的极坐标为(2，4)。

例3：（1）直角坐标方程x2y2x所表示的曲线的极坐标方程是___________. （2）极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线的直角坐标方程是___________. 解：（1）方程两边同时乘以，得2=sin+2cos；

由转换公式xcosysin 及2=x2+y2, 得：x2+y2=y+2x；即(x-1)2+(y-1252)=4. （2）由转换公式xcos 及ysin2=x2+y2, 得2=cos；再约去，得=cos. 考点三：直线和圆的极坐标方程

5、直线的极坐标方程

3

（1）直线的一般方程为cos(-)=a，其中a为极点O到直线l的距离，为极轴Ox与ON之间的夹角. （2）直线l与极轴垂直时，其方程cos=a. （3）直线与极轴平行时，其方程为sin=a. （4）直线过极点时，其方程为=(≥0).射线方程为=(≥0). 6、圆的极坐标方程

（1）圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为=R. （2）圆心在(a,0)且过极点的圆的极坐标方程为=2acos. （3）圆心在(a,)且过极点的圆的极坐标方程为=2asin. 2)上的动点，6例4: 在极坐标系中，P是曲线上=12sin.的动点，Q是曲线=12cos(-试求PQ的最大值. 解：∵=12sin，∴=12sin，

2 ∴x+y-12y=0,x+(y-6)=36. ∵=12cos(-22222 ),∴=12(coscos+sinsin),

66622∴x+y-63x-6y=0, ∴(x-33)+(y-3)=36. 22∴PQmax=6+6+(33)3=18. 例5：

在平面直角坐标系中已知点A（3，0），P是圆x+y=1上一个动点，且AOP的平分线交PA于Q点，求Q 点的轨迹的极坐标方程。

解:以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, PQ设Q,,P1,2

OA2222SOQASOQPSOAP

1113sinsin31sin2

2223cos. 2

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