1.2.2 极坐标系与直角坐标的关系教案板书设计

单元（章节）课题

本节课题

第二章参数方程

§4 极坐标与参数方程的综合应用

知识与技能：会利用极坐标与参数方程解决点的坐标、距离、弦长等问题。

三维目标

过程与方法：通过实例，体会极坐标与参数方程的有点；

情感,态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

提炼的课题

教学重难点

难点：极坐标与参数方程的综合应用

教学过程

一、极坐标

1、极坐标定义：M是平面上一点，表示OM的长度，是MOx，则有序实数实数对(,),叫极径，叫极角；一般地，[0,2)，0。

xyxcos2、极坐标和直角坐标互化公式：ysin或tany(x0)，θ的象限由点(x,y)所在象限确x222极坐标与参数方程的综合应用

重点：极坐标与参数方程的综合应用

定. 3．直线、圆、椭圆的参数方程

(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为

＝x0＋tcos α，x

(t＝y0＋tsin α．

_________________________y

为参数)

2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为

0



0__________________________．

x2y2(3)椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的参数方程为

ab



x＝acos φ，

__________．

y＝bsin φ

x＝x＋rcos θ，(θ为参数)

y＝y＋rsin θ

(φ为参数)

二、常见曲线的极坐标方程

1、圆的极坐标方程

（1）圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程是；

（2）圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程是；

（3）圆心在点(a,)处且过极点的圆O的极坐标方程是。

22、直线的极坐标方程

（1）过极点且极角为k的直线的极坐标方程是；

（2）过点(a,0)，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是；

（3）过点(a,0)(a0)，且与极轴所成的角为的直线的极坐标方程是；

（4）过点(1,1)，且与极轴所成的角为的直线的极坐标方程是。

三、常见曲线的参数方程

直线

过点(x0,y0)，倾斜角为

圆

圆心在点椭圆

双曲线

抛物线

中心在原点，长、中心在原点，长、短轴分别为2a、2b

y22px(p0)

(x0,y0)，半径为R

短轴分别为2a、2b

基础练习题: 1．点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为________．

π解析：因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，3π2，－所以点P的极坐标为．

3π2．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离是________．

3π解析：设圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离为d，

3π因为圆的半径为2, d＝2·sin＝1．

63.

2x＝2＋t，2在平面直角坐标系中，曲线C：2y＝1＋t2

(t为参数)的普通方程为________．

解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0．

x＝5cos φ，4．椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B，y＝3sin φ则|AB|min＝________．

x＝5cos φ，x2y2析：由(φ为参数)得，＋＝1，

259y＝3sin φ918当AB⊥x轴时，|AB|有最小值．∴|AB|min＝2×＝．

55

典例分析: 2x＝3－t，2017·泉州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2y＝5＋t2

(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝25sin θ．

(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)若点P坐标为(3，5)，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．

2x＝3－t，2解析：(1)由2y＝5＋t2

得直线l的普通方程为x＋y－3－5＝0．

又由ρ＝25sin θ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5．

高考中的极坐标与参数方程

x＝3cos α，(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐y＝sin απ标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋4＝22．

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1．

3

x2

C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0．

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α)．

因为C2是直线，

所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，

d(α)＝π|3cos α＋sin α－4|＝2sinα＋3－2．

231π当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为，．

622

(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25．

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

x＝tcos α，(2)直线l的参数方程是y＝tsin α

(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率．

(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)＋(y－2)＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程； π(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

422小结：

处理极坐标、参数方程综合问题的方法

(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．

课后作课本第53页复习题2 10,11 业布置

预习内容布置

《极坐标与参数方程的高考题》