2.2.1 直线的参数方程优秀教案内容

参数方程学案

直线的参数方程及应用

目标点击：

1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；

2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；

3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；

基础知识点击：

1、直线参数方程的标准式

(1)过点P0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是

xx0tcos



（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段P0P的数量，P(x,y)

yy0tsin

P0P=t

∣P0P∣=t

为直线上任意一点.

(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，

则P1P2=t2－t1

∣P1P2∣=∣t 2－t 1∣

(3)

若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3

tt

则P1P2中点P3的参数为t3＝12,∣P0P3∣=t1t2

22

(4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t2<0

2、直线参数方程的一般式

b过点P0(x0,y0)，斜率为k的直线的参数方程是

a

xx0at

（t为参数）

yy0bt点击直线参数方程：

一、直线的参数方程

问题1：（直线由点和方向确定）

求经过点P0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方程. y

设点P(x,y)是直线l上任意一点，（规定向上的

方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过

P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点.

01)当P0P与直线l同方向或P0和P重合时，

P0P＝|P0P| 则P0Q＝P0Pcos

Q P＝P0Psin

2)当P0P与直线l反方向时，P0P、P0Q、Q P同时改变符号

P0P＝－|P0P|

P0Q＝P0Pcos

Q P＝P0Psin

仍成立

设P0P＝t，t为参数，

又∵P0Q＝xx0，

xx0＝tcos

0

1 l

P(x,y) P0

Q x

yl

P0h P(x,y) Q 

x

参数方程学案

Q P＝yy0

∴ yy0=t sin

xx0tcos

即是所求的直线l的参数方程

yytsin0

∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线l上从已知点P0(x0,y0)到点

P(x,y)的有向线段的数量，且|P0P|＝|t|

①当t>0时，点P在点P0的上方；

②当t＝0时，点P与点P0重合；

③当t<0时，点P在点P0的下方；

xx0t特别地，若直线l的倾斜角＝0时，直线l的参数方程为

yyy0④当t>0时，点P在点P0的右侧；

P0P(x,y) l

⑤当t＝0时，点P与点P0重合；

x

⑥当t<0时，点P在点P0的左侧；

0问题2：直线l上的点与对应的参数t是不是一

l

y

对应关系？

我们把直线l看作是实数轴，

P0

以直线l向上的方向为正方向，以定点P0

为原点，以原坐标系的单位长为单位长，

P

这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了

0

一一对应关系. 问题3：P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2

，

则P1P2＝？，∣P1P2∣=？

P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣

t2－t1∣

问题4：若P0为直线l上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的

参数分别为t1、t2

，则t1、t2之间有何关系？

l

yP2

根据直线l参数方程t的几何意义，

P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0为直线l

P0

上两点P1、P2的中点，∴|P1P|＝|P2P| P1 P1P＝－P2P，即t1＝－t2,

t1t2<0

一般地，若P1、P2、P3是直线l上的点，

0

所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点

x

x

则t3＝t1t2

（∵P1P3＝－P2P3, 根据直线l参数方程t的几何意义，

2

∴P1P3= t3－t1, P2P3=

t3－t2,

∴t3－t1=－(t3－t2,) ）

基础知识点拨：

1、参数方程与普通方程的互化

2

参数方程学案

例1：化直线l1的普通方程x3y1＝0为参数方程，并说明参数的几何意

义,说明∣t∣的几何意义.

解：令y=0,得x＝1，∴直线l1过定点(1,0). k＝－1=－3

33

设倾斜角为，tg=－3,= 5, cos

=－3, sin=1

3622

l1的参数方程为x1y1t23t

2

（t为参数）

t是直线l1上定点M0（1，0）到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的数量.由x1y1t (2)23t (1)

2

(1)、(2)两式平方相加,得(x1)2y2t2

∣t∣＝(x1)2y2∣t∣是定点M0（1，0）到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的长.

点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义. x3t例2：化直线l2的参数方程（t为参数）为普通方程，并求倾斜角，

y13 t

说明∣t∣的几何意义.

解：原方程组变形为x3t (1) (1)代入(2)消去参数t，

(2) y13 t 得y13(x3) (点斜式) 可见k=3, tg=3,倾斜角=

普通方程为



33xy3310

222(x3)2(y1)2

(1)、(2)两式平方相加,得(x3)(y1)4t∴∣t∣=

2

∣t∣是定点M0（3，1）到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的长的一半. 点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线l1的参数方程

53x1tcosx1t为即625y1tytsin62是直线方程的标准形式，(-3)2+(1)2=1, t的几何22x3t意义是有向线段M0M的数量.直线l2的参数方程为是非标准的形y13 t式，12＋(3)2=4≠1，此时t的几何意义是有向线段M0M的数量的一半.

你会区分直线参数方程的标准形式？

3

参数方程学案

例3：已知直线l过点M0（1，3），倾斜角为，判断方程31x1t（t为参数）2y33t2x1t和方程（t为参数）是否为直线l的参数方程？如果是直线l的参数方y33 t程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义. 解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l的的普通方程

3xy330，所以，以上两个方程都是直线l的参数方程，其中

1x1t

2y33t2

cos

=1, sin=3，是标准形式，参数t是有向线段M0M的22x1t数量.，而方程是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.

y33 t点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.

x1t问题5：直线的参数方程能否化为标准形式？

y33 t

是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化) 1x1(12(3)2t)x1t12(3)212(3)2t

 令t=3y33 ty3

(12(3)2t)12(3)21x1t2 t的几何意义是有向线段

得到直线l参数方程的标准形式y33

t2M0M的数量. 2、直线非标准参数方程的标准化

一般地，对于倾斜角为、过点M0(x0,y0)直线l参数方程的一般式为，.

bxx0atktg

（t为参数），

斜率为

ayy0bt(1)

当a2b2＝1时，则t的几何意义是有向线段M0M的数量.

(2)

当a2b2≠1时，则t不具有上述的几何意义.

a22xx(abt)0xxat220ab可化为

令t=a2b2t

byy0btyy0(a2b2t)a2b2

4

参数方程学案

axxt022ab则可得到标准式 t的几何意义是有向线段M0M的数量.

byy0t22ab3例4：写出经过点M0（－2，3），倾斜角为的直线l的标准参数方程，并且

4

求出直线l上与点M0相距为2的点的坐标. x2

解：直线l的标准参数方程为x2tcos4

即33y3tsin42t（1）

2（t为参数）y32t2

设直线l上与已知点M0相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t,

则| M0M|＝|t| =2, ∴t=±2 将t的值代入(1)式

当t=2时，M点在

M0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）；

当t=-2时，M点在

M0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）. 点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较

容易.

x3tsin20例5：直线（t为参数）的倾斜角

. y4tcos20y4 解法1：消参数t,的x3＝－ctg20°=tg110°

x3(t)tcos110 解法2：化为标准形式：



（－t为参数）

y4(t)sin110 ∴此直线的倾斜角为110°

基础知识测试1：

1、

求过点(6,7),倾斜角的余弦值是3的直线l的标准参数方程.

2x1tsin252、

直线l的方程：（t为参数），那么直线l的倾斜角(

) y2tcos25 A 65° B 25° C 155° D 115°

1x1t5（t为参数）的斜率和倾斜角分别是(

) 3、

直线2y1t5A)

－2和arctg(－2)

B) －1和arctg(－1)

22

5

C) －2和4、

已知直线参数方程学案

－arctg2

D) －1和－arctg1

22xx0tcos

（t为参数）上的点A、B 所对应的参数分别为t1,t2，点Pyytsin0xx0at

（t为参数）A、B是直线l上的两个点，分别对应参数yybt0分线段BA所成的比为（≠－1），则P所对应的参数是

.

5、直线l的方程：

值t1、t2，那么|AB|等于( )

A ∣t 1－t 2∣ B a2b2∣t 1－t 2∣ C 6、

已知直线l：t1t2ab22 D ∣t 1∣+∣t 2∣

x1t

(t为参数)与直线m：xy230交于P点，求点y53 tM(1,－5)到点P的距离.

二、直线参数方程的应用

例6：已知直线l过点P（2，0），斜率为4，直线l

y 32

和抛物线y2x相交于A、B两点，

M

设线段AB的中点为M,求：

x

(1)P、M两点间的距离|PM|； 0 P (2,0) (2)M点的坐标； A (3)线段AB的长|AB| 解：(1)∵直线l过点P（2，0），斜率为4,设直线的倾斜角为，tg=4

33334x2t

cos

=, sin=∴直线l的标准参数方程为5（t为参数）*

554yt5B

∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y22x中，

整理得

8t2－15t－50＝0

Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两2515,

t1t2＝

，由M为线段AB的中点，8415根据t的几何意义，得| PM|＝t1t2

＝

16215 ∵中点M所对应的参数为t M=,将此值代入直线的标准参数方程*，

1631541341x2M点的坐标为，）

51616

即

M（4164153个根为t1、t2,由韦达定理得

t1＋t2＝y5164

6

参数方程学案

573

8点拨：利用直线l的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线l上两点间的距离、直线l上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.

(3)

|AB|＝∣t 2－t 1∣＝

(t1t2)24t1t2＝例7：已知直线l经过点P（1,－33）,倾斜角为，

3

(1)求直线l与直线l：yx23的交点Q与P点的距离| PQ|；

(2)求直线l和圆x2y2＝16的两个交点A，B与P点的距离之积.

解：(1)∵直线l经过点P（1,－33）,倾斜角为,∴直线l的标准参数方

3

程为x1tcos3y33tsin3，即y333t21x1t2（t为参数）代入直线l：

13

yx23

得(1t)(33t)230

整理，解得t=4+23

22

t=4+23即为直线l与直线l的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几

何意义可知：|t|=| PQ|,∴| PQ|=4+23. (2) 1x1t把直线l的标准参数方程为（t2y333t2为参数）代入圆的方程

132t)16,整理得：t2－8t+12=0，

x2y2＝16，得(1t)2(3322

Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t1、t2

则t1t2=12

根据参数t的几何意义，t1、t2

分别为直线和圆x2y2＝16的两个交点

A, B所对应的参数值，则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|, 所以| PA|·| PB|=|t1 t2|=12 点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.

例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x轴平行，开口向右，

直线y=2x+7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.

解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a，2）

方程为(y―2)2=2P(x－a) (P>0) ①

∵点B(－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－a)

aP=－8－P 代入①

得(y―2)2=2Px＋2P+16 ②

将直线方程y=2x+7化为标准的参数方程tg=2, 为锐角，

7

参数方程学案

1x1t125

cos

=, sin=

得（t为参数）

③

255y5t5

∵直线与抛物线相交于A，B, ∴将③代入②并化简得：

4(P6)242122P35>0,可设方程的两根为t1、t2，

tt7＝0 ，由Δ=555 又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝

[(t1t2)24t1t2＝410

5(122P)23522]4=(410) 化简，得(6－P)=100 44∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y―2)2=32x＋48 点拨：(1)（对称性）

由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P一个未知量，由弦长AB的值求得P）. (2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.

(x1)2y21，AB是通过左焦点F1的弦，F2为右焦点，

例9：已知椭圆43

求| F2A|·| F2B|的最大值. 解：由椭圆方程知a＝2，b=3,c=1, F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的

xtcos参数方程为（t为参数）

代入椭圆方程整理得

ytsin（3＋sin2）t2－6 t cos－9=0

，Δ=36cos2＋36（3＋sin2）>0 此方程的解为t1、t2，分别为A、B两点

6cos9对应的参数，由韦达定理t1＋t2=

tt＝

1 2223sin3sin

根据参数t的几何意义，t1、t2

分别为过点F1的直线和椭圆的两个交点

A, B所对应的参数值，| F1A|＝|t1|

|F1B|＝|t2|

12

|AB|=∣t 2－t 1∣＝

(t1t2)24t1t2＝

23sin

| F1A|·|F1B|＝|t1|·|t2|=|t1t2|

由椭圆的第一定义| F1A|＋| F2A|＝2a＝4， | F1B|+| F2B|=2a＝4

| F2A|·| F2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB|+| F1A|·|F1B| 129 =16-4∣t 2－t 1∣+|t1t2|=16-4+

3sin23sin239

=16-

23sin

8

参数方程学案

25

4点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解

题，此题中两定点F1(0,0),F2(2,0),显然F1坐标简单，因此选择过F1 利用椭圆的定义将| F2A|·| F2B| 转化为| F1A|·|F1B|. 的直线的参数方程，

例10：（黄冈习题册：P155,第23题）

（2）除书中解法外，补充解法二. xatcos

解法二：设过点P(a,0)的直线l的参数方程为(t为参数

ytsin (0,)，且≠) (1)

当sin2＝1时，| F2A|·| F2B|有最大值2 直线l与圆x2y2＝5相交于B,C将直线l的方程(1)代入圆的方程

得

t2+2at cos+a2－5＝0，Δ=(2acos)2-4(a2－5)>0.

即

－a2 sin2+5>0 (2)

tB＋tC=－2acos tB

tC= a2－5

2

直线l与抛物线y=x+7相交于A,D将直线l的方程(1)代入抛物线的

方程得(sin2)t2－t cos－a－7＝0 ，

Δ= cos2-4(sin2)(-a－7)>0

即1+(4a+27) sin2>0 (3)

cosa7

tA＋tD= tt=

B

C22sinsin

又∵|AB|=|CD| ∴线段AD与线段BC的中点重合，即

cos1 tA＋tD=tB＋tC

∴2= -2acos 即-2a=2， sinsin1 ∵(0,),且≠

∴0

将sin2＝代入(2)、(3)

2a2a1002a271 a必须满足0 -10

22a2a1

点拨：此题利用直线参数方程形式比普通方程求a的范围运算量相对要

小，注意使用直线上两个点的中点的参数.

xx0tcos方法总结：利用直线l的参数方程

（t为参数），给研究直线与yytsin0圆锥曲线C：F(x,y)=0的位置关系提供了简便的方法.

一般地，把l的参数方程代入圆锥曲线C：F(x,y)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，f(t)=0, 1、(1)当Δ<0时，l与C相离；(2) 当Δ＝0时，l与C相切；(3) 当Δ>0时，

l与C相交有两个交点；

9

参数方程学案

2、当Δ>0时，方程f(t)=0的两个根分别记为t1、t2，把t1、t2分别代入l的参数方程即可求的l与C的两个交点A和B的坐标. 3、定点P0(x0,y0)是弦AB中点

t1+t2=0 4、l被C截得的弦AB的长|AB|＝|t1－t2|；P0A·P0B= t1·t2；弦AB中点M点对应的参数为t1t22；| Pt0M |=1t22

基础知识测试2：

7、

直线x1ty2

t(t为参数)与椭圆x22y28交于A、B两点，则|AB|等于( )  A 22 B 4363 C 2 D 3

8、直线xx0tcosyy

0tsin（t为参数）与二次曲线A、B两点，则|AB|等于( ) A |t1+t2| B |t1|＋|t22| C |t1－tt1t2| D 2

9、

直线x212t(t为参数)与圆x2y21有两个交点A、B，若P点的坐

y1

12t 标为(2,-1),则|PA|·|PB|=

10、过点P(6,

7x62t2)的直线7(t为参数)与抛物线y2=2x相交于A、B两点，

y2

t则点P到A,B距离之积为

.

参数方程1答案

1、D 2、D

3、D 4、A

5、D

x41t2 6、（1）xatg55yactg （2）41

（3）x2cos或x2cos3y55ty2siny2sin7、D

8、 抛物线x2＝－12（y-2）上包含－1≤x≤1的一段弧

直线的参数方程答案

1、

x63tt2t12

2、D 3、C

4、

5、B 6、43

71、 B y712t8、 C 9、4 10、54

10