[本专题的学习总结报告]优秀教学实录

·单位：韶关市新丰县第一中学

·姓名：谭建浩

·个人学历：全日制大学本科

·教龄：4年

·及教过的年级：高一高二高三

·该论文是否已发表：未发表

·本人联系电话：13727520866

·征文形式：经验总结

基于全国新课标高考数学（坐标系与参数方程）复习策略

新丰县第一中学

谭建浩

论文摘要：坐标系与参数方程，从考查内容来看，2015年前广东卷相当于全国卷中第一问的难度，主要涉及参数方程。普通方程和极坐标方程的互化，极坐标与直角坐标互化，曲线的交点坐标。2016年广东高考用全国卷I卷，所以难点在坐标系与参数方程第二问考查的弦长，距离面积，参量等问题。

关键词：方程

弦长

距离

面积

参量

1.20092017年全国新课标高考数学（坐标系与参数方程)真题分析表

年份

类别，题提问特点

考察知识点和解题思路及方法

分值

号

文科

1.圆的参数方程化为极坐参数方程先化为普通方程再转化为23

标方程

2013(I)极坐标方程；求曲线交点极坐标方10分

2.求两曲线交点的极坐法

理科

卷

标

10分

文科

1.求动点的轨迹的参数方圆的参数方程，利用参数求动点轨2013(II)10分

23

程

迹参数方程，求定点与动点距离问题

2.求定点与动点距离

理科卷

10分

文科

1.椭圆普通方程化为参数直线。椭圆的参数方程与普通方程23

方程，直线参数方程化为互化；点与点的距离通过几何法转2014(I)10分

化为点与直线的距离及三角函数最普通方程

理科卷

值

2.求距离的最值

10分

文科

1.求半圆（极坐标方程）半圆的参数方程化为极坐标（多参2014(II)10分

23

的参数方程

量的限制等）。利用参数及几何法2.求点的坐标（直角坐求点的坐标

理科卷

标）

10分

文科

1.直线与圆的普通方程化直线。圆。椭圆的直角坐标方程转23

为极坐标方程

2015(I)化为极坐标方程；利用极坐标的点10分

极径p的几何意义求三角形面积

2.求三角形面积

卷

理科

10分

文科

1.求曲线（极坐标）交点联立方程组求交点；求线段的最值

2015(II)10分

23的直角坐标

问题转化为目标函数（三角函数）

2.求曲线交点线段的最最值问题

理科卷

值

10分

文2016(I)卷

2016(II)卷

科10分

理科10分

文科10分

理文理科10分

科10分

科10分

1.圆普通方程化为极坐标圆的参数方程，圆的极坐标与直线的极坐标方程，直线与圆的位置关系，相交圆的公共弦的求法

23

方程

2.求参量的值

1.圆普通方程化为极坐标极坐标与直角坐标互化，将直线的参数方程化为极坐标方程；联立曲线极坐标方程利用韦达定理和弦长公式建立方程

23

方程

2.求参量的值（斜率）

1.参数方程转化为普通方利用同角三角函数的平方关系化参三角函数最值

2016(III)卷

23

程

数方程为普通方程；利用椭圆参数2.椭圆上的动点到直线方程对应的点坐标到直线的距离及的距离最小值

文2017(I)卷

2017(II)卷

科10分

理科10分

文科10分

理科10分

1.曲线与直线的交点坐标

联立曲线和直线方程组求出交点；23

2.曲线上的动点到直线设曲线上的动点参数坐标利用点到的距离求出参量的值

直线距离及三角函数求出参量的值

1.极坐标方程化为普通方极坐标方程化为普通方程；利用极23

程

坐标的点极径p的几何意义及三2.求三角形面积的最大角形面积公式，结合二倍角公式和值

1.曲线的普通方程

23

2.求交点的极径

两角差正弦公式

科消参得直线的普通方程，联立消元2017(III)10分

得曲线的极坐标方程，从而得到交点的极径

理科卷

10分

2.坐标系与参数方程第一问常考类型题总结

基于20132017年全国新课标高考数学（坐标系与参数方程）真题分析，全国卷中第一问主要涉及参数方程。普通方程和极坐标方程的互化，极坐标与直角坐标互化，曲线的交点坐标，几乎每年都考下面一一讲述。

2.1参数方程，极坐标方程，普通方程之间的互化

参数方程变为普通方程就是消去参量化简即可，常常利用同角三角函数的平方关系化参数方程为普通方程；普通方程化为参数方程要记住直线。圆。椭圆的参数方程的化法；极坐标方程与普通方程互化只需运用p2x2y2,xpcos,ypsin即可；参数方程和极坐标方程互化都需要先化为普通方程再转化每年都考查该考点。

2.2点的互化（直角坐标与极坐标）

极坐标系的点化为直角坐标系的点就直接运用p2x2y2,xpcos,ypsin即可；直角坐标系的点化为极坐标系的点就要运用p文x2y2求出极径p,运用tany(x0)和点坐标(x,y)来确定大小。2017(III)卷考查该考点。注意：适用条x件为极点和坐标原点同一个点。

2.3求曲线的交点坐标（直角坐标与极坐标）

曲线的交点的求法：可以转化为直角坐标系的普通方程组求交点，可以联立极坐标方程组求出极坐标，也可以根据几何法求出极坐标，还可以利用参量（求出参数代入参数方程得到点坐标）及几何关系求出点坐标等方法。2013(I)卷2014(II)卷在第二问考查了，2015(II)卷2017(I)卷在第一问考查了，2013(I)卷2015(II)卷2017(I)卷都运用联立方程组求交点，2014(II)卷利用参数及几何法求点的坐标。

2014(II)卷在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为p2cos,0,

2(2)设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标。

分析：本题主要考查极坐标和参数方程和直线的倾斜角。由C在D处的切线与直线l垂直，可得直线CD与直线l平行，即斜率相同，可得直线CD的斜率，求得倾斜角，进而求得D的直角坐标。

解析：点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，klkCD3，tant3t3代入圆的参数方程x1cost(t为参数，ysint

0t)得直角坐标D为(3,3)

223.坐标系与参数方程第二问常考类型题总结

2016年广东高考用全国I卷，基于20132017全国新课标高考数学（坐标系与参数方程）真题分析，全国卷中第二问的难度大一些，从20132015年全国卷中每一年都考查距离问题。从20152017年全国卷中第二问都涉及弦长，面积，参量，极径等问题，所以难点在坐标系与参数方程第二问考查的弦长，距离，面积，参量等问题。

3.1弦长问题

3.1.1直线与圆的弦长

弦长ABr2d2其中d为圆心到直线的距离，解析见3.3.1(2015年全国I卷)

3.1.2直线与其他曲线（圆。椭圆。双曲线。抛物线等）的弦长

弦长ABt1t2(t1t2)4t1t2，做法：把直线的含t的标准的参数方程代入曲线得到t的一元二次方程，再运用韦达定理代入转化为三角函数问题。当点P是直线的一点，A,B为直线与曲线的交点时，有时候还要求线段的和及积的问题求法：把直线的含t的参数方程代入曲线得到t的一元二次方程，再运用韦达定理即可求出PAPB1t2,tPAP1Bttt的标准直线参数方程。

，注意：适用条件含23.1.3利用极坐标的点极径p的几何意义求弦长

当A,B所对应的极径为p1和p2时，弦长ABp1p2，注意：当A,B为直线与同一曲线的交点时，AB为弦长，解析在3.4.2(2016年全国II卷)23.当A,B为直线与不同曲线的交点时，也可以用这公式求出AB的距离。

例如(2015年全国II卷)在直角坐标系xoy中，曲线C1:xtcos(t为参数,t0)，其ytsin中0<，在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:p2sin,C3:p23cos。

（2）若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB的最大值。

（2）解析：曲线C1的极坐标方程为因为C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,所以p12sin

，p223cos

ABp1p2=2sin23cos

54sin()当时，ABmax4

363.2距离问题

3.2.1定点到动点的距离最值

主要做法：将曲线上的动点的横纵坐标用一个参量表示，利用两点间距离把其转化为只有一个参量的函数，再利用函数求最值的方法。分类说明：(1)定点到直线的距离最小值

直接运用点到直线的距离公式(2)定点到线段上动点的距离最值：分类①有垂直，垂直线段为最小值，定点与端点线段长为最大值②无垂直，定点与端点线段长为最值(3)定点到(4)圆上的动点的距离的最值最大值为d＋r，最大值为d－r，其中d为定点与圆心的距离。定点到其他曲线（圆.椭圆.双曲线.抛物线等）上的动点的距离最值做题思路：选择曲线的参数方程对应的点坐标到定点的距离（利用两点间距离公式）转化为只有一个参量的目标函数，一般结合换元法及二次函数求最值方法。

例如(2013年全国II卷)23.已知动点P,Q都在曲线C:x2cos(为参数)上，对y2sin(2)将M到坐标原点的距离，M为PQ的中点。应参数分别为与2(0<<）

d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。

分析：根据两点间距离的计算公式，可求出d关于的函数（注意定义域），判断d是否可为0,即可判断M的轨迹是否过原点。

解析:(1)依题意有

P(2cos,2sin),Q(2cos2,2sin2)得中点

M(coscos2,sinsin2)，原点到动点M的距离d22cos

（0<<2）

当=时，d0,故M的轨迹过坐标原点。

3.2.2动点到直线的距离

分类说明：(1)圆上的动点到直线的距离最大值为d＋r，最大值为d－r，其中d为圆心与直线的距离。(2)其他曲线（圆.椭圆.双曲线.抛物线等）的动点到直线的距离最值

做题思路：用参数方程对应的点坐标到直线的距离公式，转化为只有一个参量的目标函数，一般结合辅助角公式或三角函数求最值方法。2014年全国I卷，2016年全国III卷2017年全国I卷第二问都考查该知识点。

例如(2016年全国III卷)在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x3cos(为ysin参数)。以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin(4(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标。

)22。

分析：把其他曲线（圆.椭圆.双曲线.抛物线等）的动点到直线的动点距离最小值转化其他曲线（圆.椭圆.双曲线.抛物线等）的动点到直线的距离最小值

解析：(3cos,sin)到直线xy40的距离为d

3cossin42

2sin()2,当2k(kZ)时d取最小值为2，此时点P的直角坐3631标为(,)

223.2.3动点到动点的距离

(1)圆M上的动点到圆N上的动点的距离最值：最大值为d＋RM＋RN，最大值为d－RM－RN，其中d为圆心距。(2)圆O上的动点M到其他曲线N（圆.椭圆.双曲线.抛物线等）上的动点的距离最值做题思路：先求圆心O到曲线N的最值：选择曲线的参数方程对应的点坐标到定点的距离（利用两点间距离公式）转化为只有一个参量的目标函数，一般结合换元法及二次函数求最值方法。MNmaxONmaxR，MNminONminR。

3.3求面积问题

3.3.1利用弦长及距离求面积

底，高，边长一般利用前面提到的距离和弦长方法求出长度。

,例如(2015年全国I卷)在直角坐标系xoy中，直线C1:x2圆C2:(x1)2(y2)21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

(2)若直线C3的极坐标方程为(pR),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面4积。

分析：利用圆心到直线的距离求出高，还利用直线与圆的弦长公式

解析：C3:4ktan1C3的普通方程为yx，圆心到C3的距离为

d122112,MN2r2d22SC2MNMNd

2223.3.2利用极径的几何意义求面积

当A,B所对应的极径为p1和p2时，再利用两边一夹角求面积公式。

例如(2017年全国II卷)22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴（2）建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为pcos=4。设点A的极坐标为2,，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值。

π3:2）pB4cos，于是解析（设点B的极坐标为pB，pB>0。由题设知OA2，OAB面积Sπ3π1（2-）-（-）=2sinOApBsinAOB4cossin2+3当3232-π时，S取得最大值2+3。

12所以OAB面积的最大值为23

3.3.3结合均值不等式，正弦定理，余弦定理，面积公式求面积最值

在2017备考中很多模拟题中都有涉及这些知识点，例如22.在平面直角坐标系xoy中，=曲线C的参数方程为

xaacos(a>0，为参数) ，以O为极点，x轴的正半轴为yasinπ3 32极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程

pcos-=π，求

OAB的面积最大值。

3π试题解析：因为曲线C是以a,0为圆心，以a为半径的圆，且AOB

3AB=2a由正弦定理得:，所以AB3a

πsin32222由余弦定理及均值不等式得:AB3aOAOBOAOBOAOB

(2)A,B为曲线C上的两点，且

AOB则: SOAB1π1333a233a22

OAB的面积最大值为OAOBsin3a2322443.4求参量问题

3.4.1已知弦长最值求参量

利用该论文的3.1弦长问题的相关知识点解决

22例如(2016年全国II卷)23.在直角坐标系xoy中，圆C的方程为x6y25．

(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是xtcos)A,B两点，AB10,求l的斜ytsin（t为参数l与C交于率

解析：(1)由xpcos,ypsin可得C的极坐标方程p212pcos110

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(pR)

由A,B所对应的极径分别为p1,p2将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得

p212pcos110于是p1p212cos,p1p211

324p1p2144cos244由AB10得cos,8151515从而算出tan所以l的斜率为或。

3333.4.2已知距离最值求参量

利用该论文的3.2距离问题的相关知识点解决

例如2017年全国I卷第二问(2017年全国I卷)22．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方ABp1p2p1p22程为x3cos（为参数），直线l的参数方程为ysinxa4t(t为参数)（2）若C上的y1t点到l距离的最大值为17，求a

（2）解：直线的普通方程为x4ya40，故C上的点3cos,sin到l的距离为

d3cos4sina417

a9a917，所以a8；

。由题设得1717a1a117，所以a16。

当a<4时，d的最大值为。由题设得1717综上，a8或a16

3.4.3利用直线与圆，圆与圆的关系求参量

当a4时，d的最大值为利用直线与圆，圆与圆的位置关系得到一些几何关系，过圆内的定点的动直线与圆的弦长最小值的求参量（当圆心和定点连线与直线垂直时弦长最小），还有相交圆的公共弦（相交弦）的求法，等知识点求参量。

例如(2016年全国I卷)22.在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为

为参数,a＞0）xacost（ty1asintp4cos

在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为a0,其中a0满足tana02,若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a

分析: 利用两个相交圆的普通方程作差得到相交弦的普通方程

解析:xacost222（t均为参数）x(y1)a①

y1asintC1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆。方程为x2y22y1a0

由x2y2p2,ypsin得C1的极坐标方程p22psin1a20

C2:p4cos,两边同乘p得p24pcosp2x2y2,xpcos

x2y24x，即(x2)2y24②

C3:化为普通方程为y2x,由题意：C1和C2的公共方程所在直线即为C3

①—②得:4x2y1a20即为C3

1a20a1

总结：针对本校大部分学生反映坐标系与参数方程的第一问都做得满分，重难点落在坐标系

与参数方程第二问考查的弦长，距离面积，参量等问题，所以解决第二问时要记住解题模板，平时加以总结就行了。坐标系与参数方程的选做题虽然在全国高考卷的最后一部分，但实际难度不太大，学生答题时，不要将选做题放到最后解答。

参考文献：全国及各省市高考题全解.薛金星.陕西人民教育出版社.2011.5