1.2.1 平面上点的极坐标系教学实录及点评

极坐标系的概念

一、教学目标

1．理解极坐标的概念，了解极坐标平面上的点与极坐标间的对应关系．

2．会根据极坐标描点和根据点写极坐标，能认识同一点的各种极坐标．

二、教材分析

1．重点：极坐标系概念及其四要素．

2．难点：点与极坐标的对应关系，一点对应的极坐标的通式．

3．疑点：ρ＜0时点与极坐标的关系，广义极坐标与狭义极坐标．

三、教学过程

(一)复习引入

数学研究的对象是数量关系和空间形状．对空间形状的研究，最先是欧几里德所建立的一套公理定理逻辑体系，后来笛卡尔创立了解析几何学．在平面解析几何里，直角坐标系的建立，成功地把点与数联系起来了，这样就可以用数对来确定点在平面上的位置．请大家回忆，直角坐标系与直角坐标的概念和直角坐标平面上点与点的直角坐标之间的关系．

学生1答：

直角坐标系是两条互相垂直且相交于原点的数轴，要素是原点、单位、方向、横纵轴．

点与坐标的对应关系是点的横坐标与纵坐标、点与有序实数对集合中的元素成一对一关系．

(二)新课讲解

P9思考引入

1．定义

上面的一个“距离”和一个“角度”就可以确定一个点P在平面上的位置，但这是有基础和背景作前提的，请讨论，有哪些前提？

(1)基点：O；

(2)方向：东；

(3)长度单位；

(4)角的始边和方向(东偏北)单位(度)．

把上述前提条件抽象成数学语言，就是：

在平面内取一个定点O叫极点，引一条射线Ox叫极轴，规定长度单位、角的单位和正方向(逆时针方向为正)，就构成一个极坐标系(图3-14)．

极坐标系的四要素：

(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；

(4)角的单位和正方向．

对于平面上任一点P，用ρ表示OM的长度，叫极径，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角(有方向有正负)，叫极角，则有序实数对(ρ，θ)叫点P的极坐标，记作P(ρ，θ)．

2．例题讲解

例1

56EDOCBA

爱心

专心

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用心X4FG

(1)写出A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标．

(五)广义的极坐标和狭义极坐标

在一般情况下，ρ≥0，但在某些必要情况下，允许ρ＜0．ρ＜0时，P(ρ，θ)．按如下规则确定(图3-16)：

(1)作∠xOP′=θ，

(2)在P′O延长线上取|OP′|=|p|．

在极坐标系中，作出下列点的极坐标：

由此，我们来看极坐标平面上的点与极坐标对应关系：

一个极坐标对应唯一个点；

一个点对应无穷多个极坐标．

设 P(ρ，θ)，则其所有极坐标是P(ρ，2kπ+θ)或P(-ρ，2kπ+θ+π)，k∈Z．

那么可否限定ρ与θ的取值范围，使点与极坐标成一对一关系？请对下列情况进行判断：

(1)ρ≥0，0≤θ＜2π(除原点外成一对一)；

(2)ρ＞0，0≤θ＜2π(除原点外成一对一)；

(3)ρ＞0，-π＜θ＜π(x轴负向及原点无坐标)；

(4)ρ＜0，-π＜θ≤π(除原点外成一对一)；

(5)ρ＞0，-π≤θ＜π(除原点外成一对一)．

显然，答案是肯定的．特别说明，教材规定，今后除特殊说明外，一般认为ρ≥0，除非说明了允许ρ＜0，才考虑ρ＜0的情况．但ρ≥0而未限定θ范围，仍是一坐标对一点，一点对无穷多个坐标．这就是极坐标系在某些方面比直角坐标系复杂一些的原因所在．

(六)扩展

在建立直角坐标系后，曾详细研究过两点间距离的问题，在极坐标中两点P1(ρ1，Q1)，P2(ρ2，Q2)两点间的距离P1P2|=(七)小结

(1)极坐标系四要素．

(2)点与极坐标对应关系，同一点的极坐标通式．

(3)极坐标系下两点间的距离公式．

五、布置作业

1．教材第12页第1题、第2题、第3题．

用心

爱心

专心

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用心

爱心专心

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