练习一课时教案

北师大版数学六年级上册第21—26页的《圆的面积》教学设计

教材分析

《圆的面积》是在学生对圆的特征、圆周长计算有一定的认识之后,对圆的进一步学习,属于《空间与图形》领域的内容。

在学习这一知识之前,学生对由直线围成的平面图形面积计算公式的推导已经有了比较深的认识。而圆是小学数学平面图形教学中唯一的曲线图形,与学过的直线图形不论是内容本身,还是研究的方法,都有所变化。

从教材中,我们可以清晰地看出:编者力图通过生活中的情境,并借助它培养学生的估算意识,进而让学生在探索圆面积的计算公式的过程中,体会“化曲为直”的思想,从而将新的数学思想纳入到学生原有的知识结构之中。“估一估”与“探究活动分别对应着两种度量的方法:前者是用工具(方格纸)度量圆的面积,后者是探究圆的面积可以用什么样的公式去度量。

在教材中,还隐含“圆的面积与半径到底有什么关系?”这一条主线。

学生分析:

小学生的抽象思维和概括能力都比较弱,充分的让学生动手去操作、体验学习过程,则有助于学生获得广泛的数学活动经验。学生面对圆这一曲线图形面

积的推导,可能无从下手,运用迁移和同化理论,则能很好的将新知转化为“旧知”,提高学生分析问题、解决问题的能力。

基于以上的思考,我对教学进行了设计。特制定以下教学目标:

知识与技能目标:了解圆的面积的含义,掌握圆面积计算公式。

过程与方法目标:经历圆面积计算公式的推导过程,让学生在动手操作、探索的过程中,体会并积累“化曲为直”的方法和经验,初步感受极限思想。

情感与态度目标:体验数学问题的探索性和挑战性,在困难和挫折中树立探索真理的勇气和信心,在合作交流中共享成功的喜悦。

其中,让学生经历圆面积计算公式的推导是教学重点,而“化曲为直”的转化就成了本节课的教学难点。

为了实现以上的目标,我精心进行教学预设,引领学生课堂生成。

课前谈话

师:同学们,离上课还有几分钟,为了让大家提提神,咱们先来猜个谜语,怎么样?

(1)草地上来了一群羊(打一水果) 草莓

(2)草地上有一群羊,突然来了一群狼。(打一水果) 杨梅

备用:[一片草地----(打一植物) 梅花;又一片草地----(打一植物) 野梅花]

师:为什么第一个谜语我们要仔细思考,而第二个谜语很快就猜到了呢?

生:略。

师:说得真好,有了解决一种问题的经验,就可以用这种经验解决类似的问题,生活中是这样,在我们数学探究中也是这样。

师:看来大家的精神状态很不错,那我们开始上课,好吗?

(一)情境引入起疑导思

师:同学们,十一玩得很愉快吧!去过公园吗?来,让我们一起去公园走走。

(播放公园喷水头正在给草地浇水的场面)

师:到了公园,你看到了什么?

生:我看到喷水头正在浇灌草地。

师:你能提出一两个数学问题吗?

生1:喷水头旋转一周,喷到水的地方形成了一个什么图形?

生2:浇灌了多大面积的草地?

……

[说明:爱因斯坦曾经说过:“提出一个问题比解决一个问题更重要。”在教学中,学生主动提出问题、探究问题的习惯和能力的培养,是一个值得关注的课题。从生活的情境出发,更有利于培养学生的问题意识。]

师:这些问题都很好!这节课我们就来研究浇灌了多大面积的草地呢?

师:刚才有的同学看到喷水头旋转一周形成了一个圆形,求浇灌部分的面积,实际上就是求(圆的面积)。

师:请大家想一想:什么叫做圆的面积呢?你的意思是说把圆所占平面的大小叫做圆的的面积。说得真好!

师:继续看,你还能发现什么?

生:圆的面积越来越大。

师:这是为什么呢?

生:半径长了,面积也就大了;半径决定圆的面积。

师:看来圆的面积与它的半径是有关的。

[说明:数学新课程“强调从实际问题抽象成数学模型再加以解释与应用的过程”,结合解决现实问题的过程学习数学知识与方法,应该说是北师版教材坚持新课程理念的一大特点,它体现了数学活动的数学化特征。情境使学生产生“圆的面积与什么有关系呢?”的疑问,学生平静的水面泛起浪花,并急于想解决问

题,对问题的思索在学生心中扎下了根,点燃了学生主动参与探索的热情,为进一步寻找解决策略明确了方向。]

(二)首次探究自主估算巧设玄机

师:圆的面积与它的半径到底有什么关系?用什么办法能找到它们之间的关系呢?

生:如果能找出圆的半径和它的面积,也许能找出它们之间的关系。

[学习纸:正面画有两个圆,上面标有半径的长度;背面在方格纸中画有与正面同样大小的圆]

(1)师:好,这儿有两个圆,一个半径是1厘米,另一个半径是2厘米。任选一个你能估出它的面积吗?

生试估,师评价。(学生有点困难时)

师:请大家翻到学习纸的背面,方格纸中有两个与正面面积相等的两个圆。谁来说说这里每个方格的边长是(1厘米),那每个方格的面积就是(1平方厘米)。再来估一下,你选择的圆面积大约是多少?你是怎么估的?

引生说的格式:半径( )厘米,面积大约是()平方厘米;

评价时注意:当学生与圆外正方形的面积相比时,可以利用大屏幕,用彩笔画出正方形的轮廓。

2)师:再请大家拿出手中的圆片,你能估出它的面积是多少?

生可能有:贴到方格纸上;对折再对折,量出半径。

师:你是怎么想的?还真有办法!刚才我发现有更奇特的方法。

能不能将上面两种方法综合一下。

[说明:由有方格图的支撑,到没有方格,学生必定无意识的从上面的两次活动中总结经验并加以应用。在估圆片面积这一环节,承载着太多的意义:一使学生借助上面活动形成的表象,进一步强化估算的方法,逐渐帮助学生建立起数学模型。二诱发学生利用上面活动的思维惯性,寻找圆片半径,进而将圆片对折再对折,既隐含另一种估的策略,更隐含将圆片等分4等份的玄机,使学生主动探索(剪成4等份)成为可能。]

(3)师:刚才我们在估算圆的面积时,都有意无意的拿圆的面积与圆外的大正方形的面积比。(出示图)

师:如果不知道一个圆的半径,你还能表达出它的大概面积吗?

生:(先计算)圆的面积小于4r2。

师:谁来说说这里r2指的是哪部分的面积呢?

生:小正方形的面积。

师:我们是不是也可这样理解,将1/4圆看大一些,就成了正方形,面积为r2,那么圆的面积就会小于4r2。如果将这里的扇形看小一些,就成了(三角形)?那圆的面积就会大于(2r2)。

得出:2r2<圆的面积<4r2

师:看样子,圆的面积还真与半径有关系。大胆的猜一猜,圆的面积最有可能是多少?

[说明:通过逐渐抽象概括,从而估算出圆面积的大致范围。在学生大胆的猜想下,又孕育着验证的必要性。]

(三)再次探究触发灵感体会“极限”

师:现在如果知道圆的半径,你能求出圆的面积吗?

生:还不能,只能大致确定一下范围。

师:看来,我们还得继续探索下去。

[说明:教师应当善于设计这样的情境,在其中学生已有的知识能力不足以解决所面临的问题,从而产生观念上的不平衡,使学生较为清楚地看到自身已有的局限性,并努力通过新的学习活动以达到新的更高水平上的平衡。]

师:还记得以前,我们研究一个图形的面积时,用到过哪些好的方法?

生:将新的图形转化成为已经学过的图形。

师:举个例子。(借助课件)这两种思路,都是将新图形转化成已学过的图形。

师:我们能不能从中受到启发,也来将圆转化成我们学过的图形?

[说明:开放性的设问,促发学生从自己已有的认知结构中检索有关的知识,去多方面的解决新问题。以旧引新,可促进学生知识的系统化,可扫除在新知中将要遇到的思维障碍,突出新知的生长点,将学生带入有利于学习新知识的“邻近发展区”。]

师:这样吧,同桌为一个小组,先讨论一下怎么做,再合作试一试。好吗?开始

巡视学生可能出现的情况:

①将圆周剪直成一个正方形,剩余部分无法拼成学过的图形;

②将两个圆拼在一起,无法拼成学过的图形;

③将圆片沿半径等分成4等份,拼成一个近似的平行四边形或长方形。(拼成的近似三角形与三角形差异较大,出现的可能性较小。)

④将一个圆折成若干等份,每份象一个三角形,用一个三角形的面积乘份数就是圆的面积。

师:同学们,很多小组已经有想法了。来,听听他们是怎么转化的吧。

评方案一:[④将一个圆折成若干等份,每份象一个三角形,用一个三角形的面积乘份数就是圆的面积。]

生:我是通过折一折得到一个扇形。再继续折,就得到一个近似的三角形。

师:同学们,他刚才先将圆片折成了几份呀!折成了什么图形?他又发现问题了!扇形我们没有学过。他就继续折,这样,折出的图形能像什么图形?这方法多好呀!

师:(贴出4等份、8等份)与4等份相比,确实更像三角形。

师:如果想更像三角形呢?

生:就得继续折。

师:再更像呢?折折看!有困难了。我帮你在电脑上演示一下,好吗?

这是将圆片折成8等份,其中的一份有点像三角形;再对折的话,就平均分成了16等份,你看这其中的一份会怎么样?再对折,32份呢?64份呢?……生:折的份数越多,每一份的形状越像三角形。

师:和大家想的一样,把圆分的份数越多,其中的一份越接近三角形。这样,我们将圆转化成了三角形?三角形的面积怎么算?那怎么求圆的面积呢?

评方案二:[③将圆片沿半径等分成4等份,拼成一个近似的平行四边形或长方形。]

师:谁来现场采访一下,听听他们是怎么想的,好不好!你来回答,谁先发问?

预设采访语:

为什么将圆平均分成了4份?或你怎么想到沿半径去剪的?

你拼成了什么图形?

8等份与4等份相比,你觉得你拼的图形怎么样?

你觉得应该怎么做,拼成的图形才更像平行四边形?

[说明:学生自然而然的将圆片等分成4份,远比老师提前准备的8等份, 16等份要有分量,而这样学习的结果是学生自己“创造”的,其教育价值远比教师“直接告诉”要大得多。]

谢谢同学们的精彩提问和发言!

师:同学们,要想拼成的图形更像平行四边形,应该怎么办?

生:继续分。

师:平均分成16份,拼成的图形会有什么变化?如果想让拼成的图形更像平行四边形呢?再继续剪,剪多少份?能更像吗?再怎么办?如果现在让你剪64分,有什么感觉?

生:太麻烦了。

师:是有点麻烦,还是让电脑帮帮我们,好吗?

16等份,拼成的图形怎么样?

32等份?

想象一下,如果64等份呢?开始有点像(长方形)了。

师:继续分下去,分得份数越多,拼成的图形就简直成了(长方形)。

[说明:将圆片4等份、8等份、16等份,学生可以动手剪一剪、拼一拼,当份数越来越多时,学生感受到不可操作性,这时就有必要借助电脑的优势,弥补操作和想象的不足。在拼法的对比和想象中,学生体会着“化曲为直”,初步感受极限思想。]

师:我们把圆转化成学过的长方形,形状变了,什么没有变呢?

生:面积。

师:要想求出圆的面积,只要求出长方形的面积就可以了。长方形的面积怎么求?这里的长和宽又相当于圆的什么?

师:刚才我们把圆片通过折一折得到三角形,剪拼成长方形。不管哪一种,我们都是将它们转化成我们学过的图形。并都推倒出圆的面积公式是:s=∏r2,真是条条大路同罗马呀!

[说明:在操作活动中,学生的思维以形象思维为主,教师适时的话锋一转,学生的思维过度到以抽象思维为主,让学生感性的认识上升到理性的高度,有效地推导出圆面积的计算公式。]

(四)运用公式巩固提高

师:怎样计算圆的面积?圆的面积是r2的pài倍,刚才哪位同学猜对了?真的很准哟!掌声祝贺他!

师:现在利用这个公式,你能求出浇灌了多大的面积的草地吗?

生:能。

师:那就开始吧。

生:老师,还需要一个条件。

师:缺什么条件?

生:要求出浇灌草地的面积,还需要知道它的半径是多少?

师:告诉你吧,这个圆的半径是10米。现在能吗?请求出浇灌部分的面积。

[说明:平时学生解决的问题,往往是条件都告诉了的。在半径还没有给出的情况下,让学生去求圆的面积,学生必定会进行更高层次的思考。建立在需要基础上的学习,才有价值,才有成效。]

(五)归纳总结课后延伸

师:同学们,通过这节课的学习,你有什么收获?(会计算圆的面积;圆面积公式的推导。)

更重要的是我们学会了把圆转化成已经学过的图形,这是一种非常好的方法。在以后的学习中,如果遇到新问题,我们也可试着将它转化成已经学过的知识来解决,你说好不好!

[说明:课堂小结往往是教师一相情愿,重视的是学习的结果,而这里引导学生从探寻问题,解决问题的方法、途径上出发,进一步强化了本节课的设计意图,扩大了本节课的外延。]

师:老师这里还准备了一份小资料。

你知道刘徽的“割圆术吗?

在我国,首先是由魏晋时期杰出的数学家刘徽得出了较精确的圆周率的值。他采用“割圆术”,由圆内接正六边形算起,逐渐把边数加倍,算出正12边形……一直算到正192边形的面积,得到圆周率的近似值是3.14,这些面积会逐渐地接近圆面积。刘徽的方法是用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆。

师:有兴趣的同学还可以看一看课本第18页的课外阅读,相信你会有新的收获。