阅读与思考 费尔马大定理板书设计及意图

阅读与思考——费马大定理

一、教学内容

人教版八年级下册数学35页——阅读与思考（费马大定理）

二、教学时间：2019.3.20 三、教学目标

（一）学生了解费马大定理，了解费马大定理和勾股定理的区别及联系. （二）通过费马大定理的学习，感受数学证明的奥妙与艰辛，感受数学历史的璀璨时光，学生能树立正确的人生观与价值观. （三）学生能重视阅读与思考，使数学学习更加充满兴趣. 四、教学重点与难点

重点：了解费马大定理，感受数学历史及数学证明的璀璨时光. 难点：能正确理解梳理费马大定理的证明过程. 五、教学方式：小组合作学习，讲授式，谈话式。

六、教学过程

（一）温故导新

1.教师引导学生复习勾股定理，以及勾股定理在外国俗称什么？

2.介绍PPT封面人物——那是一个蒙昧无知的时代，那是一个群星璀璨的时代。上帝将这般绝美的定理洒落人间，等着一群智力卓越、自命不凡的信徒慧眼识珠。自此孜孜不倦，舍生忘我地追寻和探索，历经千百年，毕其生于一役。费马大定理——一个人类历史上最著名的数学难题，困惑了世间智者358年，贯穿了从古希腊到二十世纪的数学史，引出费马大定理，板书课题.

（二）自主探新

1.介绍费马. 2.介绍丢番图，古希腊数学家，《算术》——丢番图，费马阅读此书——不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。费马对于此命题这样证明：对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证明，可惜这里的空白太小，写不下. 3.自学（3min）：阅读数学课本35页——阅读与思考费马大定理，思考以下问题：（1）怎样引出费马大定理的？（2）什么是费马大定理？（3）费马大定理最终是谁证明的？（4）费马大定理和勾股定理有什么不同之处，有什么相似之处？（5）阅读之后你对数学的历史长河有何感悟？

4.互学（3min）：注意互学要求，4号生先说，组长总结等. 5.展学：小组汇报，组长总结，和其他小组要有互动等. nn>2）6.费马大定理：an+bn=c（无整数解. （三）交流展示

1.教师介绍费马大定理的证明过程：

1753年瑞士著名数学家欧拉，在给哥德巴赫的信中说，他证明了n=3时的费马猜想. 1816年巴黎科学院把费马猜想转化简化归结为n是奇素数的情况，认为费马猜想应该成立，并称为为费马大定理（以区别费马关于同余的小定理），并为证明者设立大奖和奖章，费马大定理之谜从此进一步风靡全球。

费马自己证明了n=4的情形。

十九世纪初法国自学成才的女数学家热尔曼证明了当n和2n+1都是素数时费马大定理的反例x，y，z至少有一个是n整倍数。在此基础上，1825年德国数学家狄利克雷和法国数学家勒让德分别独立证明费马大定理在n=5时成立，用的

是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。

1839年，法国数学家拉梅对热尔曼方法作了进一步改进，并证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合得很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。

1844年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。但对一般情况，在猜想提出的头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。

1847年，巴黎科学院上演戏剧性一幕，

当时著名数学家拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理，拉梅还声称证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理，刘维尔则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。大数学家都被扯入其中，似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了德国数学家库默尔的来信，明确指出证明中的复数系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅和柯西的证明都是错的。

大约在1850年前后，高斯的学生、德国数学家库默尔看到唯一因子分解是否成立是欧拉、热尔曼创立的企图证明费马大定理的方法关键，于是他创立了一种“理想数环”理论，据说这一思想也受其老师高斯启发，高斯表面上声称对费马大定理不感兴趣，实际上对n=7久思不解。学生库默尔运用独创的“理想素数”理论，一下子证明了100以内除37、59、67以外的所有奇数费马大定理都成立，使证明问题取得了第一次重大突破。

库默尔之后近半个世纪，费马大定理证明都停滞不前，直到二十世纪前期大数学家勒贝格向巴黎科学院提交了一个费马大定理的证明论稿，由于勒贝格当时的权威声望，大家都以为这下问题解决了，但经过广泛传阅其证明稿件，人们遗憾地发现大数学家的分析证明还是错的。

1908年，格丁根皇家科学协会公布沃尔夫斯凯尔奖：凡在2007年9月13日前解决费马大定理者将获得100000马克奖励。提供该奖者沃尔夫斯凯尔是德

国实业家，年轻时曾为情所困决意在午夜自杀，但在临自杀前读到库默尔论述柯西和拉梅证明费马定理的错误让他情不自禁地计算到天明，设定自杀时间过了，他也放不下问题的证明，数学让他重生并后来成为大富豪，1908年这位富豪死时，遗嘱将其一半遗产捐赠设奖，以谢其救命之恩。

从此世界毎年都会有成千上万人宣称证明了费马大定理，但全部都是错的，一些数学权威机构，不得不预写证明否定书。

1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想．按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多只有有限个解．记这个多项式为f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0。后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了。

二战后随着计算机的出现，大量的计算已不再成为问题。借助计算机的帮助，数学家们对500以内，然后在1000以内，再是10000以内的值证明了费马大定理，到80年代，这个范围提高到25000，然后是400万以内。

1983年，德国数学家法尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇章．法尔廷斯也因此获得1986年菲尔兹奖。

1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线与另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山—志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。

1958年英国数学家Birch和Swinnerton--Dyer构造了椭圆曲线E的L（E，s）函数，他们对该函数在s=1处的零点与椭圆曲线E上的有理点关系给出了一个简称BSD猜想。

1984年，德国数学家弗雷在德国小城奥伯沃尔法赫的一次数论研讨会上宣称：假如费马大定理不成立，则由费马方程可构造一个椭圆曲线，它不可被模形式化（一个命题：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数的椭圆曲线，不可能是模曲线。），也就是说谷山---志村猜想将不成立。但弗雷构造的所谓“弗雷曲线”不可模形式化也说不清具体证明细节，因此也只是猜想，被称为“弗雷命题”，弗雷命题如得证，费马大定理就与谷山---志村猜想等价。

1986年美国加州大学伯克利分的肯.里贝特教授，为证明弗雷命题己奋斗了十八个月，曾亲耳听到弗雷当年演讲的里贝特深信自己能证明弗雷命题，但久攻未克，这年夏天哈佛大学教授巴里.梅袓尔来伯克利访问并参加国际数学家大会，有一次里贝特与他起喝咖啡，便研讨起弗雷命题，梅袓尔的一个提醒让里贝特恍然大悟，里贝特随即完成了弗雷命题的证明，并当即在这届国际数学家大会内外传开。世界数学界为之兴奋。

1986年，英国数学家安德鲁·怀尔斯听到里贝特证明弗雷命题后，感到攻克费马大定理到了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域，他开始放弃所有其它活动，精心疏理有关领域的基本理论，为此准备了一年半时间把椭圆曲线与模形式通过伽罗瓦表示方法“排队”。接下来的要将二种“排队”序列对应配对，这一步他二年无进展。此时他读博时学的岩泽理论一度取得实效，到1991年他之前的导师科茨告诉他有位叫弗莱切的学生用苏联数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线，这一方法使其工作有重大进展。

1993年6月在剑桥牛顿学院要举行一个名为“L函数和算术”的学术会议，组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨，于是在1993年6月21日到23日怀尔斯被特许在该学术会上以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题，分三次作了演讲。听完演讲人们意识到谷山---志村猜想已经证明。由此把法尔廷斯证明的莫德尔猜想、肯.里贝特证明的弗雷命题和怀尔斯证明的谷山---志村猜想联合起来就可说明费马大定理成立。其实这三个猜想每一个都非常困难，问题是怀尔斯

最后证明，他变为完成费马大定理证明的最后一棒。

1993年6月23日从剑桥牛顿学院传出费马大定理被证明之后，世界媒体普天盖地般报道了该喜讯。但此刻数学界反倒十分冷静，明确指论证还需仔细审核，因为历史上曾多少次宣布证明但后来被查证错误。怀尔斯的证明被分为6个部分分别由6人审查，其中第三部分由凯兹负责的查出关于欧拉系的构造有严重缺陷，使科利瓦金---弗莱切方法不能对它适用，怀尔斯对无能为力，1993年12月怀尔斯公开承认证明有问题，但表示很快会补正。一时间怀尔斯的证明被认为是历史上拉梅、柯西、勒贝格、里贝特（里贝特也曾称证明了谷山--志村猜想）错误证明的又一例子。1994年1月怀尔斯邀请剑桥大学讲师理查德.泰勒到普林斯顿帮他完善科利瓦金--弗莱切方法解决问题，但整整8个月过去，问题没有解决。泰勒准备再一个月回剑桥，然后怀尔斯正式公布手稿，承认证明失败，1994年9月19日怀尔斯想自己证明失败原因该怎么写，回顾自己是先用岩泽理论未能突破而后用科利瓦金---弗莱切方法，又该法对一类特殊欧拉系出了问题，这样一想，突然又想到何不再用岩泽理论结合科利瓦金---弗莱切方法试试？问题解法就是这样，怀尔斯绝地逢生，修补了漏洞。1994年10月25日11点4分11秒，怀尔斯通过他以前的学生、美国俄亥俄州立大学教授卡尔.鲁宾向世界数学界发了费马大定理的完整证明邮件，包括一篇长文“模椭圆曲线和费马大定理”，作者安德鲁.怀尔斯。另一篇短文“某些赫克代数的环论性质”作者理查德.泰勒和安德鲁.怀尔斯。至此费马大定理得证。 1995年，他们把证明过程发表在《数学年刊》.

2.学生谈体会.引发了你怎样的思考？

（四）总结归纳

1.PPT总结：费马大定理的证明是人类中数于万计最聪明的天才历经近四百年的智力接力赛，他们付出了自己的精力青春乃至于生命。在企图证明费马大定理的途中，进而产生了椭圆曲线，模形式，以及群论的发展。可以这么说，比起

费马大定理本身，追逐它的过程更加促进了人类数学水平的发展。

2.学生总结. 3.教师寄语：孩子们，吕老师真心希望你们能学好数学，培养好你们的思维，在数学的历史长河中能有你们的名字，能和费马、高斯、柯西这些数学家比肩齐名，现在的你们只要努力，有信心、有恒心、有决心，一定可以成功，操千曲而后晓声，观千剑而后识器. 六、布置作业

1.搜集费马大定理的证明里程，做成思维导图的形式. 2.搜集费马小定理，作为了解. 七、教学反思

要提高数学课的教学质量与效益,必须牢牢抓住课堂教学主渠道,但很多章节都配有"阅读与思考"阅渎材料,这是章节知识拓展和延伸,总要给学生一定阅读自学的时间,在数学课的课堂教学中指导学生进行学习.因此,科学地指导学生阅读自学数学课本中的"阅读与思考",以培养学生良好的自主学习的习惯就显得十分重要，所以也是我讲这节课的主要原因. 在数学新课程改革中,问题解决贯穿于整个数学学习并成为重要的课程目标,数学阅读在问题解决中起着至关重要的作用。为了对正文内容进行补充、为学生提供阅读材料,人教版数学教科书中开辟课“阅读与思考”这一栏目。“阅读与思考”篇幅短小、形式新颖、内容丰富、阅读性强,能激发学生的学习兴趣,培养学生的阅读习惯,调动学生数学学习的积极性,是相当不错的数学阅读材料。但是在实际教学中,由于该栏目不属于教学大纲要求的课堂教学内容,也没有专门的课时安排,因此考虑到课堂教学进度及课时不足等因素限制,教师教学、学生学习都不重视这一栏目。但我觉得“阅读与思考”有很重要的意义，体现教学文化、巩

固所学知识、激发学生的数学学习兴趣、培养学生自主学习能力和创新思维等的价值得以体现。

有些学生不明白，证明这个理论到底有什么用？是的，是否有正数解，对我们来说根本用不到。但是对这些理论地证明，它的意义根本不仅仅是它本身，更大的意义在于为了证明这些结论而衍生出来的一些其他的理论。要知道为了证明费马大定理，人们创造出了很多其他的的数学理论。而这些理论对我们科学的发展起到了很大的作用。就像把人类送入太空一样，它的意义不仅是人第一次踏入太空，为了达到这个目的，我们创造出了很多的发明发现，而这些东西却对我们的生活产生了广泛的影响。数学不仅是一门学科，他更是科学的一部分，对于科学，我们可以不懂，但是希望我们抱有崇高的敬意来对待它！因为我们人类之所以达到今天的地步，就是科学的功劳！