三元一次方程组的解法2教学实录与评析

《三元一次方程组解法举例》教案

探究版

《三元一次方程组解法》教案

新课标要求

知识与技能

掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法，并能利用它解决问题．

过程与方法

在学习解三元一次方程组的过程中，感受消元转化的思想．

情感与态度

让学生通过自己的探索、尝试、比较等活动去发现一些规律，体会一些数学思想，从而激发学生的求知欲望和学习兴趣．

教学重点

三元一次方程组的解法．

教学难点

选择适当的方法解三元一次方程组．

教学过程

一、创设情境，引入新课

1．什么是二元一次方程？

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是１，像这样的方程叫做二元一次方程．

2．什么是二元一次方程组？

含有两种未知数，并且每个方程中含未知数的项的次数都是1次，这样的方程组叫二元一次方程组．

问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币

的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张？

教师利用投影出示问题，让学生进行讨论，怎样解决这个问题．

学生讨论交流后可以想到通过列方程组来解决．

解：设1元、2元、5元纸币分别为张．可以得到

观察此方程组与前边所学的二元一次方程组有何不同．

由此引入三元一次方程组的概念．

设计意图：通过复习二元一次方程组的相关知识，为接下来学习三元一次方程组提供帮助．让学生意识到三元一次方程组的学习可以类比二元一次方程组来进行．

二、探究三元一次方程组的解法和应用

问题：如何解这个方程组？

1．教师提出问题，学生进行讨论、探究、交流．然后得出结论，可以类比二元一次方程组的解法进行．

教师让学生继续讨论，观察这个方程，怎样才能达到这样的目的？

让学生通过讨论、交流、尝试去解决这个问题．然后师生共同完成解这个方程组．

仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的二元方程：

4y＋y＋z＝12，4y＋2y＋5z＝22．

把它们组成方程组

即

解此二元一次方程组得出y，z，进而代回原方程组可求x．

设计意图：通过学生的讨论、交流、探究，以及与二元一次方程组解法的类比，从而得出解三元一次方程组的思路，让学生从中感受类比的思考方法．

2．明确概念：

含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程．

含有三个未知数，并且每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组．

注意事项：

①区分未知数的次数与含未知数的项的次数．

②组成三元一次方程组的方程不一定都是三元一次方程．

设计意图：类比二元一次方程组的概念学习三元一次方程组的概念和注意事项．

三、例题精讲

例1 解三元一次方程组

分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．

解：②×3＋③，得11x＋10z＝35．④

①与④组成方程组

解这个方程组，得

把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，

所以y＝．

因此，这个三元一次方程组的解为

归纳：从分析过程可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进

行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组思路是一样的．

设计意图：让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力；在解题后归纳题目的特点，点明消元方法和消元对象，更有助于学生探索方法、掌握技巧．

例2 在等式中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a，b，c的值．

分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．

解：根据题意，得三元一次方程组

②－①，得a＋b＝1；

④

③－①，得4a＋b＝10．

⑤

④与⑤组成二元一次方程组

解这个方程组，得

把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5．

因此

即a，b，c的值分别为3，－2，－5．

设计意图：通过例题的讲解，为以后学习用“待定系数法”求二次函数的解析式打下基础．

四、课堂练习

1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（

）．

A．

B．

C．

D．

答案：B．

2．解方程组要使运算简便，消元应选（

）．

A．先消x B．先消y C．先消z D．先消常数项

答案：B．

3．解下列三元一次方程组：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）

①代入②，并整理得11x＋2z＝23．④

③与④组成方程组

解这个方程组，得

把x＝2代入①，得y＝2×2－7，

所以y＝－3．

因此，这个三元一次方程组的解为

（2）

①×2－③，得21y＋2z＝3．④

①×3－②×2，得－12y－5z＝6．⑤

④与⑤组成方程组

解这个方程组，得

把代入①，得，

所以x＝5．

因此，这个三元一次方程组的解为

（3）

①＋②＋③，并整理得x＋y＋z＝．④

①－②，得－2x＋y＋z＝－1．⑤

④－⑤，得

所以

同理可解 因此，这个三元一次方程组的解为

（4）

由①得．④

由②得．⑤

把④⑤代入③，得．

所以x＝35．

把x＝35代入①得y＝21．

把x＝35代入②得z＝15．

因此，这个三元一次方程组的解为

设计意图：使学生进一步掌握解三元一次方程组的能力．

五、课堂小结

1．三元一次方程组的要求：①各方程组是整式方程，②含有三个未知数，③各方程完整形式为三元一次方程，也可以是二元一次方程，④由三个方程组成．

2．解三元一次方程组的基本思路是逐步消元，最终变成一元一次方程求出其解．消元的方法同样有代入法和加减法，因而在求解时，要注意选择适当方法．

设计意图：通过小结，既突出了本节课重点，又突出了解决本节内容中例题、练习题的方法

技巧，使学生在以后解题时有很强的针对性．

六、布置作业

1．解下列三元一次方程组：

（1）

（2）

2．一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数的7倍比个位、十位上的数的和大2，且个位、十位、百位上的数的和是14．求这个三位数．

3．在等式中，当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝20；当x＝与x＝时，y的值相等．求a，b，c的值．

设计意图：考查列、解三元一次方程组的能力．

参考答案：

1．（1）

（2）

2．解：设这个三位数的个位，十位，百位上的数字分别为x，y，z．根据题意，列方程组得：

解这个方程组得：

所以这个三位数是275．

3．解：根据题意，得三元一次方程组

②－①，得－2b＝22；

所以b＝－11．

整理③得11a＋6b＝0．④

把b＝－11代入④得a＝6．

把a＝6，b＝－11代入①，得c＝3．

因此

即a，b，c的值分别为6，－11，3．

七、课堂检测

1．已知，则________．

2．方程组中，＝________，＝________，＝________．

3．下列方程中，是三元一次方程组的是（

）．

A．

B．

C．

D．

4．当x＝1，2，3时，代数式的值分别为2，3，6，则a，b，c的值分别是（A．1，3，－2 B．3，1，－2 C．－2，3，1 D．1，－2，3 5．在函数中，当时，；当时，；当时，．求a，b，c的值．

6．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值．

设计意图：考查列、解三元一次方程组的能力．

参考答案：

．

）

1．．

2．3，9，15．

3．B．

4．D． 5．依题意得解之得

6．解：由题意得三元一次方程组

化简得

①＋②－③得

，．

④

②×2－①×3得

，．

⑤

由④⑤得

，．

所以

．

加入讲义