*5 一元二次方程的根与系数的关系教案及板书设计

第二章 一元二次方程

2. 一元二次方程的根与系数的关系

渭南育红初中 曹睿

一、教材分析

（一）地位作用

本节课的内容是一元二次方程的根与系数的关系，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。

（二）教学目标

1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

（三）重点与难点

重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系；

难点：对根与系数这一性质进行应用. （四）教具学具

多媒体课件

二、学情分析

学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

三、教法分析

在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。

四、学法分析

本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。

五、教学流程

教学过程

问题设置

师生活动

设计意图

以问题串的1、一元二次方程的一般形[师]（板书）自主学习

式？

ax2+bx+c=0 (a≠0) 形式引导学生思考，回忆公式法解（课前实2、一元二次方程有实数根的条[生]口答

践）

件是什么？ 3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？

4、一元二次方程的求根公式是什么？

[师](△=b2-4ac≥0) 一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。

内容：同学们，我们来做一个游

激发了学生的

通过游戏入戏，看谁能更快速的说出下列一求知欲和好奇心，激手，激发学生学习元二次方程的两根和与两根起了学生探究新知兴趣。

的兴趣。自然引出本节课要学习的课题

情景导入

积？

（1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0 （3）2x2-3x+1=0

合作学习

2方程

x1

x2

x1+x x1x2

本环节采用“实践——观察x+3x+4=0

6x+x-2=0

2x-3x+1=0

22在复习旧知的基础——发现——猜上，学生很快口完成想——证明”的过了表格，为解决后面程，使学生既动的问题做好了准备。手、动脑，又动口，问题串让学生合作教师引导启发，避解决，在探究的过程免注入式地讲授中体现了特殊到一一元二次方程根般，从实践到理论的与系数的关系，体认知规律。

分小组讨论以上的问题，并作出推理证明

现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。

问题：

1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？

2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？

3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。

4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。

1、根据根与系数的关系写出下学生迅速演算或口列方程的两根之和与两根之积

算

1、两根之和等于一次项系数除以（方程两根为x1，x2、k是常数）

1、是引导学生及时二次项系数的相（1）2x-3x-1=0

x1+x2=____ x1x2= 2巩固本节所学的新反数中的符号是知“根与系数的关学生的易错点

系”，其中第（3）2、将平方和、倒小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计。

数和及差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟展示交流

（2）3x2+5x=0 x1+x2=____ x1x2= （3）x2+7x=-6

x1+x2=____ x1x2= （4）5x2+kx-6=0

x1+x2=____ x1x2=

练的掌握。

2、利用根与系数的关系，求一2、

将平方和、倒数3、使学生体会解元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的

（1）平方和 （2）倒数和 （3）差

3、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。

和及差转化为两根和与积的代数式。例如：

x12+x22=( x1x2;

3、

展示学生的不同作法，通过比较，学生可以体会到用根与系数的关系来

x1+x2)2-2 题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验。

1、第1、2题把一留给学生充分的独元二次方程根与1、已知三角形的两边长a、b是立思考和小组合作系数的关系与三方程x2-12x+k==0的两个根，三交流的时间与空间，角形三边关系相角形的第三条边c=4,求这个三使学生在资源共享组合，借此锻炼学角形的周长。

2、变式训练：

的同时，充分体会到生综合分析、推一元二次方程根与理、归纳的能力。

精讲点拨

已知三角形的两边长a、b是方系数的关系的广泛2、第3题已知方程x2-12x+k==0的两个根，三角应用和便捷，

形的第三条边c能等于15吗？

3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.

程的两根求作一个一元二次方程，是一元二次方程根与系数的关系的逆用，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度。同时要注意答案的多样性及其中的规律

1.已知关于x的方程x2－2x＋m2+m－2＝0的一个检测目标完成情况，反馈、点评易错点。

当堂检测

根是2，求方程的另一个根和m的值. 22(1)x7x40(2)xmxn 2.写出下列方程的两根和与两根积：

0

(3)2x25x10(4)x23xm0

3.已知关于x的方程2x2－mx－m2＝0有一个根是1，求m的值.

课堂小结

师生互相交流总结

在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？

学生通过回顾

鼓励学生回本节课的学习，感受顾本节课知识方①二次项系数a是否为到公式推导的全过面以及与之相联零，决定着方程是否为二次方程，发展了逻辑思维系的知识有哪些程；

能力，提高了推理技收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

②当a≠0时，b=0，a、c能。 异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=

x1x2=

⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。

作业布置

(一)

课本51页习题2.8

A类学生 1、3题＋补充题

补充：已知方程的一个根为2，求另一个根及B类学生 1,2题。

的值。

独立完成作业

，

针对不同学情，分层布置作业。

板书设计

§ 2．5 一元二次方程的根与系数的关系

x2pxq0a1，bp，cqb24acp24q02bb24acpp4qx2a2

x1pp24qpp24q，x222p24qpp24qp22p24qpp24qq22x1x2x1x2pp

教学反思

本节课教学设计注重开发学生的思维能力,但是学生理解很好，掌握起来却很困难。教师在今后的教学中应注意加强化繁为简的教学方法，也就是在课堂40分钟内的内容准备一定要充分、简单，使学生有成功感。还应注意锻炼学生们的动手能力，课堂内有充足的练习时间。