阅读与思考　为什么√2不是有理数板书设计

为什么2

不是有理数

教学设计

初一备课组

主讲：张丽辉

《实数》是关于数的内容，是“数与代数”的重要内容。学生对数的认识从有理数范围到实数的范围，是数的第二次扩展。本节课为学生提供有趣而富有含义的问题，在教学中让学生进行充分的探索和交流。以如何将循环小数化为分数，过渡到说明2

是无教材分析

理数的证明，使学生认识无理数是一种与有理数不同的数，利用历史上无理数的发现过程等数学历史拓宽学生的数学知识，让学生正确而深刻理解无理数是实际存在的不能写成分数形式的数。无理数的引入，数系的扩展充满着对立和统一的辩证关系及分类思想，本节课不仅仅完善学生的知识结构，还培养学生的想象能力，渗透数学思想，感受数美的有效载体，也是发展学生逻辑思维能力的重要内容。

知识技能：1、理解无理数的概念和2是无理数的证明．

2、会在数轴上表示出无理数。

教学目标

过程方法：1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．

2、借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想. 情感态度：进一步体会对立统一的辩证思想，进一步体会“以形表数，以数表形”的数学思想方法和分类的思想.

教学重点

无理数的概念和2是无理数的证明。

2是无理数的证明和如何在数轴上表示无理数。

教学手段

课件

教学难点

教学准备

圆（硬币），两个小正方形

1、学生的认知基础

学生已经学习了有理数的概念，会区分有理数是循环有限小数，可以写成分数，会将循环小数化成分数的方法，这为本节课的学习奠定了理论基础和操作能力,也为顺利开

学情

分析

展课堂打好基础。

2、学生的年龄心理特点

七年级的学生已经具备对问题的观察能力和思考、操作能力，可以应用所学知识解决一些常见实际问题，学生的特点是对于数感较好，能较好的区分哪些是有理数，但是对于无理数的概念就是很抽象，只能知道是无限不循环小数就是无理数。在教学中注意以旧知识有理数的概念出发，结合数学的历史拓宽学生的数学知识结构，从而引出2是无理数的证明，使知识顺利自然过渡，增加学生的学习兴趣。

依据教学目标和学生的特点，在此课教学方法和教学模式的设计中我的设计思想和策略如下：

教学

策略

1、

积极开展研究的教学模式，

从“情境—问题—探究—反思—提高”过程中，使学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程。

2、设法让学生主动从事数学活动，构建自己有效的数学模式理解的场所。

3、教学中，教师成为学生学习数学的组织者、引导者和合作者。

4、充分利用现代教育技术（课件的合理使用）增加师生互动、形象化表示数学内容、有效处理无理数在数轴上表示等问题。

5、给学生提供施展才华机会，培养学生的合作交流能力及学习数学的自信心。

教

学

内

容

和

过

程

教学环节

一、复习旧知：

问题1：什么是有理数？

师：有理数：两个互质的数之比（包括1,2）

或有限小数或无限循环小数。

问题2：你会把

化成

分数？

师生活动 师板书课题：

为什么设计意图

通过有理数的定义引出将循环小数化为分数的环节，意在温故知新，引出新课，激发学生的求知欲，以达到顺利过渡的作用。为后面新课合作做铺垫。

2是无理数

解：设∵=x ∴10x= ∴10x - x =3 ∴ 9x =3 ∴x = . 复习旧知，讲练结合

练习：你会把

化成

分数？

学生练习并展示结果。

问题3：那么是不是所有的数都是有理数呢？有没有其他数存在呢？是不是有理数呢？

二、发现新知，求证新知！

问题4：正方形的面积为2，此时它的边长为 ; 问题5：

在哪两个整数之间呢？最逼近哪两个数之间呢？

＜ 2

＜

＜

＜

＜

＜

＜

＜

∴1.25 ＜

∴1.375 ＜

∴1.39 ＜

∴1.4 ＜

＜ 1.5

＜ 1.45

＜ 1.43

＜ 1.42

＜ 1.415

＜

1.4145 利用计算器计算最逼近2的小数。

阅读和思考的内容使学生对于数学的历史有更深层的了解，并深刻理解2是无理数的证明。

分析：1 ＜

∵ ∵

∵ ∵ ∵ ∵

学生对于无理数的概念就是很抽象，只能知道是无限不循环小数就是无理数。在教学中通过最逼近2的小数让学生感受无理数是无限不循环小数.

结合数学的历史拓宽学生的数学知识结构，从而引出

是无理数的证明，使知识顺利自然过渡，

＜

＜

＜

＜

＜

∴1.41 ＜

∴1.414 ＜

的值：

我们可以通过上面的方法无限逼近= 1.414213562373……

问题6：希帕索斯发现了什么？毕德哥拉斯学派的观点又是什么呢？。

公元前5世纪，毕达哥拉斯学派认为数最崇高、最神秘，他们所讲的数是指整数。"数即万物"，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。但是，希帕索斯发现，边长为1的正方形，它的对角线(根号2)却不能用整数之比来表达。这就触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪律:谁都不准泄露存在根号2(即无理数)的秘密。

希帕索斯发现等腰直角三角形的直角边与斜边的比不是有理数。

这就举出当时毕达哥拉斯学派"一切量都可用有理数表示"的一个反例。天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害(相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海)。

但根号2很快就引起了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为“第一次数学危机”，也让数学向前大大发展了一步。希帕索斯为根号2殉难留下的教训是:科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬。

阅读书本P58的内容。

问题7：

证明：假设

不是有理数吗？用反证法。

是有理数，那么存在两个互质的正整数p、q，

增加学生的学习兴趣。

用反证法讲解“

理数吗？”这个知识点，让学生感受数学的反证法的证明方法，感受不同的解题方法，知道无理数并不是“无理”，感受数学的美。

不是有

使得

2=p

，

于是

p2q

，两边平方得

p22q2

。

q

由于2q2

是偶数，则有

p2

是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，

所以

p 也是偶数。

由此设p=2s，代入上式，得

4s22q2

，即

q22s2

。

所以q也是偶数，那么，p，q也是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾。

这个矛盾说明，

不能写成分数的形式，即2

不是有理数。

实际上，2是无限不循环小数。

事实上，无理数只是一个命名，并非“无理”，而是实际存在的不能写成分数形式的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映。

问题8：什么叫无理数？

无限不循环小数叫无理数。

三、应用新知，解决问题。

问题9、如何在数轴上画出无理数π？

准备一个圆（可以考虑用硬币代替圆），学生以小组为单位尝试利用圆在数轴上找出π这个点。

以小组为单位，让学生通过动手探索，归纳总结出如何利用手上的

有学生会得出利用半径为0.5的圆，从原点出发，往数轴正方向滚动工具准一周得到的点的位置就是π= 2×π×0.5。

确的将无理数通过小组合作的学习方式，让学生学会合作，共同探索，归纳总结。

学生的实操，能增强学生动手能力，进一步体会数形结合的思想。

问题10、在数轴上如何画出无理数2呢？

准备两个边长为1的正方形，学生利用来在数轴上准确找到2。

把两个小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得出一个面积为2的大正方形。

设大正方形的边长为x，则

x2

。

由算术平方根的意义可知：x =2。

2在数轴上表示出来。

π和2在数–2–1O1A234x

轴上的表示的方法，令学生对于无理数更加印象深刻，更能理解无理数不是“无理”，而是实际存在的不能写成分数的数，从而深刻理解数形结合的数学思想。

所以得出利用直角边长为1的等腰直角三角形的斜边即为2，再以O为圆心，1为半径作弧交数轴于A点，A即为2。

同理我们可以利用上面求出2的做法求出其他无理数哦，大家课后可以找机会尝试。

与学生四、归纳总结：

一起归纳总结。

今天这节课我们学习了无理数就是无限不循环小数，也求证了2为

何不是有理数，特别是学习了关于如何在数轴上正确表示出无理数的方法，课后我们可以尝试用直角三角形在数轴上画出其他无理数，如让学生在教学中不断谈收获，加深学生对知识间的内在联系的理解，有利于形成良好的知识体系和认知结构。

3,5

等。

五、作业：

1、利用今天的知识：

在数轴上表示无理数√3，, √10 。

2、阅读书本P59的活动2的内容，并思考完成内容。

六、板书。

有理数：两个互质的数之比（包括1,2）

或有限小数或无限循环小数。

无理数：无限不循环小数。

你会把

化成

分数吗？

不是有理数吗？

–2

–1O1A234x

七、反思。

1、教学的开始，从复习有理数的定义出发，引出循环小数化为分数的例子，为后面证明

是无理数作铺垫。学生对于这方面知识还是进展得比不是有理数这部分还是感到有点抽象吃力的，

较顺利，就是到证明

2、后面的

在数轴上准确表示无理数的点需要学生的动手操作和思考能力，确实很考验学生的储备知识，学生一时想不起如何利用圆或者直角三角形在数轴上准确表示无理数，这需要老师提示做法。这里需要花费的时间比预期的多。

3、数形结合的思想的渗透也是在无形之中开展的。

4、这节课对于中下生的要求也是比较高，需要小组内优生带动差生，一起合作得出结论。并且对于圆或者三角形的面积公式也要很熟悉才能很好的开展课题。

5、所以时间的把控也是很考察老师的。