7.1 正切教案设计（一等奖）

课题

课型

7.1 正切（1）

新授课

主备人

课 时

1 执教者

授课时间

李莹

1．认识锐角的正切的概念；

教

学

目

标

2．经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；

3．激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．

教学

重难点

计算一个锐角的正切值的方法．

教学法指导

小组合作讨论、讲练结合法

教具准备

三角板、多媒体课件

集 体 智 慧

个性设计

教学后记

[来源:学科网] 大多数学生较好地发挥新课引入——情景导入

会根据自己了“情景导的作用，问题1：人们在行走的过程中，自行车、汽车的生活经验入”来判断第二让学生初步在行驶的过程中免不了爬坡．如图1，哪个台阶更个台阶更陡体会倾斜的一些，学生程度可以靠陡？ 的回答大多倾斜的角

是建立在倾度来判断和

斜的程度辨别，初步

图1 （实际上就感受倾斜的

是倾斜的角角度越大，

度）．

台阶就越

陡．

问题2：如图2，哪个台阶最陡？你是如何判断

的？[来源:学科网ZXXK]

6

4

②

①

8 8

6

③

12

图2

- 1 -

学生继续思考，寻找特点：

1．①、②两个水平宽度相同（都为8），高度

不同，②中的高度（为6）高于①中的高度（为4），所以②比①陡．

学生积极思考，寻

[来源:学.科.网Z.X.X.K] 由角度逐步转化为边之间的比较，来实现向新知识的自然过渡．

始终围绕台阶的倾斜程度展开，问题环环相扣，把新知识的特点不知不觉、一步一步地呈现出来，正所谓“生其自然、成其必然”．

2．②、③两个高度相同（都为6），水平宽度找突破：

不同，②中的水平宽度（为8）小于③中的水平宽度（为12），所以②比③陡．

综合1，2可得，②最陡．

可以引导学生从相同的水平宽度或者相同问题3：如图3，在图2中的①、③两个台阶，的高度来比你认为哪个台阶更陡？你有什么发现？

①

4 较它们的倾斜程度．

比如：如图3，在③中从

8 左向右截取6 水平宽度与③

①相同（为8

8），利用三12

角形相似就图3

可以求出此

时所对应的

高度，发现

高度（为6）

与①中所对

应的高度

（为6）相

等．所以它

们的倾斜程

度一样，即

它们一样

陡．

始终围绕台阶的倾斜程度展开，问题环环相扣，

把新知识的特点不知不觉、一步一步地呈现出来，

正所谓“生其自然、成其必然”．

- 2 -

观察、思考，并归纳、小结：

可以得到Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽

Rt△AB3C3……

根据相似三角形的性质，得

经过前三个

问题的探

究，学生似

乎体会到斜

坡倾斜的程

度与边角之

间的关系，

让学生对

所感悟的知

识碎片进行

整理，并结

合图形进行

准确地符号

表达．通过

数形结合的

思维训练来

探索数学规

律，学习数

学概念，有

利于提高教

学的有效

性．

[来源:学科

网ZXXK]

类似地，让

学生类比出

∠B的正切

的表示方

法．趁热打

铁，让学生

表示出∠B

的正切，有

利于学生深

入认识正切

的定义，初B1C1B2C2B3C3……

AC1AC2AC3也就是说，如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定．

总结提升

如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA＝

A 对边a aA的对边BC＝＝．

bA的邻边ACB [来源:学+科+网] 邻边b 图5

C

你能用同样的方法写出∠B的正切吗？

类比、归纳：

A

对边b 图6

B 邻边a C 如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b、a分别是∠B的对边和邻边. 那么，tanB＝

- 3 - B的对边ACb．

＝B的邻边BCa

例题

例1 如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，求tanA、tanB．

A

拓展：

通过计算tanA、tanB的值，你有什么新的发现吗？

发表意见，表达观点，相互补充．

参考答案：

解：在Rt△ABC中，BC＝52423，

tanA＝BC3AC4，tanB＝．

AC4BC34

图7

B 5 C

从而发现tanA与tanB互为倒数，即

tanA·tanB＝1．而且，根据定义，我们发现abtanA·tanB＝·＝1，所以，我们能得到互余两ba个角的正切值互为倒数．

例题

例2 如图8，在等边三角形ABC中，CD⊥AB，垂足为D．求tanA．

拓展：

AD2

图8

CB

通过计算tanA的值，你对60º的正切值有什么认识？30º呢？你还能得到其他的吗？

- 4 -

[来源:学。科。网Z。X。X。K]

步实现教学目标．

师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力，会进行简单的说理．在拓展环节，尽量让学生表达，或是在互相交流的基础上发表自己的看法，这样有利于学生对知识的进一步理解．

例2主要是针对角不在直角三角形中如何处理，要让学生明白寻找对边或邻边时要在该角所在的直角

发表意见，表达观点，相互补充．

参考答案：

三角形中实现，从而引导学生去创造直角三角形培养学生分析问题的能力．[来源:学科网] 适时的问题拓展，开放性的问题设计，既综合整理、当堂复习了新课知识要点，又留给了学生自由发挥的空间．

检测学生对本节课知识的掌握程度，考查了学生解决问题的综合能力．练习1让学生体会不同位置摆放的直角三角形不会影响锐角的正切值．其中的第三个

11

解：由题意知，AD＝ABAC．

22

在Rt△ACD中，

根据勾股定理，得

CD＝AC2－AD2＝2212AD3AD，

CD

3．

tanA＝

AD

从而发现tan60º3，而∠ACD＝30º，

3AD3

tan∠ACD＝，即tan30º．

3CD3

利用等腰直角三角形的特点，还能求出tan45º＝1．

练习

1．如图9，求下列图中各直角三角形中锐角的

正切值．

A C

B

A

7 ②

B 15

5 17 ①

③

A 5 C

12

C

B

图9

2．如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB

3＝10，tanA，求AC、BC和tanB．

4

B

10

A

C

运用本节课所学数学知识解决问题．

参考答案：

1．解：①在Rt△ABC中，

- 5 -

tan A＝BC5AC12，tanB＝．

AC12BC5②在Rt△ABC中，AC＝1721528，

tanA＝BC15AC8，tanB＝．

AC8BC15③在Rt△ABC中，AC＝725226，

AC2BC5566．

tanA＝，tanB＝BC5AC26122．解：在Rt△ABC中，tanA＝3．

4设BC为3m，则AC为4m，所以tanB＝AC4m4．又因为BC3m3AB＝10，所以(3m)2(4m)2102，所以m2(舍去-2)，

所以BC＝3m＝6，则AC＝4m＝8．

小结

通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．

- 6 -

[来源:学§科§网]

[来源:学科网]

共同小结．

图形的设计让第三边AC的结果不是整数（为26）．

练习2是正切的逆用，进一步让学生体会正切的结果是一个比值3（tanA4，不代表BC＝3，AC＝4）．练习2的处理可以在学生充分讨论交流的基础上，教师给出适当的引导（比如：可以设BC为3m等）．

师生互动，总结学习成果，体验成功．

课后作业

1．课本P99习题7.1第1、2题；

2．思考题（选做）：

你能判断下面两个楼梯哪一个更陡吗？

5 ①

7 3 ②

5

课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．

选做题解法较多，但又不规定必须用几种方法，学生可根据自己的能力去自主选做．这样就能实现“课程标准”中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．

[来源:Zxxk.Com]

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