y=ax^2的图像教学设计及教案分析

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教学设计 5．2 二次函数的图像和性质（2）

1．能归纳总结y＝ax²（a≠0）的图像性质；

2．体会用类比方法研究数学问题，实现“探索——经验——运用”的思维过程．

归纳总结y＝ax²(a≠0)的图像性质．

获得利用图像研究函数性质的经验．

教学过程（教师）

学生活动

学生画图像，并思考这四个图像各有什么特征．

12

设计．

标系中画出函数y＝x2和y＝2x2、

（1）这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向＝2x2图像．

．

图像各有什么特征？

通过画二次函数图数y＝ax²的图像是一条抛物线，抛物线的上，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点．

程，为下面

（2）这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最高点．

，对称轴为y轴．

y＝ax²(a≠时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线质打下基础时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线第

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．

y＝ax²的图像，你还能发现什么？

1．学生观察y＝ax²的图像，总结：

a＞0时，y轴左边的图像下降，y轴右边的图像上升．

a＜0时，y轴左边的图像上升，y轴右边的图像下降．

2．学生用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降：

a＞0时，由y轴左边的图像下降可以知道：当x＜0时，随着x增大y减小．

a＜0时，由y轴左边的图像上升可以知道：当x＜0时，随着x增大y增大．

通过观的图像，归用x、y的值的变化来描述图像的上升、ax²（a≠0）培养学生运般”总结规想．

＞0时，

时，y随x的增大而减小；

时，y随x的增大而增大；

时，y有最小值，最小值为0．

0时，

时，y随x的增大而增大；

时，y随x的增大而减小；

时，y有最大值，最大值为0．

出下列函数图像的开口方向、顶点坐标、

通过说减性、最值．

学生利用y＝ax²（a≠0）的图像与性质回答所给函数的进一步加深相关性质． －3x²

； （2）y＝0.6x²； y＝ax²（a≠0.75x²

； （4）y＝－100x²．

质的认识．第

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知函数y＝(m－1)xm＋m是二次函数且其2 1．学生完成例题，并在小组内交流．

2．学生展示解决问题的方法．

例1 解：

（1）由题意知：m－1＜0且m²＋m＝2，则m＝－2．

（2）当x＜0时，y随x的增大而增大；

当x＞0时，y随x的增大而减小．

例2 解：

下，

m的值和函数解析式．

什么范围内，y随x的增大而增大；y随

通过两小．

加强学生对（a≠0）图识．

数y＝y＝ax²（a≠0）与直线y＝2x－3b)，求：

b的值．

（1）将A(1，b)代入y＝2x－3，得：b＝－1；

将A（1，－1）代入y＝ax²（a≠0），得：a＝－1．

（2）抛物线：y＝－x²；顶点（0，0）；对称轴：y轴．

抛物线y＝ax²的解析式，并求顶点坐标和通过课学生总结回顾，交流本节课所获所得．

课中：我学到了什么？我还有什么疑问？

了解学生存解学生对本情况．

．

当堂训练：

1．抛物线y＝ax2和直线y＝x+b都经过点P（2，6）则a=

, b=

, 直线不经过第

象

限，抛物线不经过第

象限。

2．如点P（3，m）是y1x2上的点，则m=

, 点P关于x轴的对称点P1的坐标是

，

3点P关于y轴的对称点P2的坐标是

，点P关于原点的对称点P3的坐标是

，

其中P1

、P2

、P3在抛物线y1x2上的点是

。

3

3．二次函数y＝ax2的图像和直线y3x交于（1，m），则关系式是

，对称轴2是

，

顶点

坐标是

，当x＜0时，函数值y随x的增大而

，

当x＝

时，函数

y有最

值，

是

。

作业：

(

) 1．已知二次函数y = 2x2，对于一切x的值，总有A．y>0

B．y≥0 C．y<0 D．y≤0 第

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(

) 2．关于二次函数y1x2，下列说法中正确的是A．y随x的增大而增大

B．y随3x的增大而减小

C．当x>0，y随x的增大而增大

D．当x>0，y随x的增大而减小

3．二次函数y1x2的图像开口

，顶点坐标为

，对称轴为

．

3

4．二次函数y = -2x2，当x<0时，y随x的增大而

；当x=

时，y取得最____值.

5．已知等边三角形的边长为2r，请将此三角形的面积S表示成r的

函数，并画出图像的草图．

(

)6．下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象是

7.一个函数的图像是以y轴所在直线为对称轴，原点为顶点的抛物线，且经过(2, －8) ⑴求这个函数的解析式；⑵画出函数的图像；

⑶观察图像，写出这个函数的所有性质。

四、课后练习：

1．已知a<－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y2）都在函数y=x2的图象上，则（

）

A．y1

B．y1

C．y3

D．y2

2.某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．

(1) 以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，

请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2的解析式；

(2) 计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）

3．已知二次函数y=ax2经过点A（－2，4）

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（1）求出这个函数关系式；

（2）写出抛物线上纵坐标为4的另一个点B的坐标，并求出S△AOB；

（3）在抛物线上是否存在另一个点C，使得△ABC的面积等于△AOB面积的一半？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．

4．有一座抛物线形拱桥，正常水位的桥下水面宽度为20m，拱桥距水面4m。

（1）在如图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式。

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，区、桥下水面的宽度为d(m)。试求出用d表示h的函数解析式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下顺利航行。

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