小结与思考教学评价实录

图形的相似与解直角三角形

(时间：120分钟

总分：120分)

一、选择题(每题4分，共40分) 1．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1 m，则旗杆PA的高度为(

A

)

1111A.

m B.

m C.

m D.

m

1－sinα1＋sinα1－cosα1＋cosα2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是(

D

) 3101110A. B. C. D.

102310,(第2题图))

,(第3题图)) 3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，DEF.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为(

D

) EF23A．1 B．2 C. D.

554．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE∶EA＝3∶4，EF＝3，则CD的长为(

B

) A．4 B．7 C．3 D．12 ,(第4题图))

5．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：

①S△DOE1S△ODE1DE1ADOE＝；

②＝； ③＝；

④＝. BC2ABOBS△COB2S△ADC3,(第5题图)) 其中正确的个数有(

B

) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(

D

)

ADABA．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD·AC D.＝

ABBC17．在平面直角坐标中，已知点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩2小，则点A的对应点A′的坐标是(

D

)A．(－2，1) B．(－8，4)C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1) 8．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)．坝高BC＝3 m，则坡面AB的长度是(

B

)

A．9 m B．6 m C．63 m D．33 m

9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE＋CF的值(

C

) A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小

,(第9题图))

,(第10题图)) 10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：

①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝2. 其中正确的结论有(

B

) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题(每小题4分，共16分) 11．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是__3__．

2,(第11题图))

,(第12题图))

812．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝22，AB＝3，则BD＝____．

3

13．如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200 m到达点B，则小辰上升了__100__m. 14．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为__6或23或43__．

三、解答题(每题8分，共64分) ADCD15．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝. CDBD(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的大小．

解：(1)略；

(2)由(1)得∠ACD＝∠B，又∠B＋∠BCD＝90°，

∴∠ACD＋∠DCB＝90°，即∠ACB＝90°. 16．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50 m远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．(精确到0.01 m，参考数据2≈1.414，3≈1.732)

解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x

m，

在Rt△AEC中，AE＝CE＝x，

在Rt△EBC中：BE＝3CE＝3x，

∴3x＝x＋50，解之得：x≈68.30，

答：河宽为68.30 m. 17．南海是我国的南大门．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°

的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只．我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？(最后结果保留整数，参考数据：cos75°≈0.258 8，sin75°≈0.965 9，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)

解：过点B作BD⊥AC，∵∠BAC＝75°－30°＝45°.在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，由勾股定理得BD＝AD＝＝2×20＝102(海里)．在Rt△BCD中，∠C＝15°，∠CBD＝75°，∴tan∠CBD2CD，即CD＝102×3.732≈52.770 48，则AC＝AD＋DC＝102＋102×3.732≈66.910 48≈67(海里)．

BD答：约67海里．

18．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．

请你运用所学的数学知识解决这个问题．

解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，

BC2AC＝＝＝23，

tanAtan30°由题意，得EF＝AC＝23.

在Rt△EFC中，∠E＝45°，

∴FC＝EF·sin 45°＝23×∴AF＝AC－FC＝23－6. 19．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法．他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9 m．请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．(结果保留到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7) 2＝6.

2

解：∵BE∥DC，CD⊥AB，EB⊥AB，DC＝BE＝9.

在Rt△ACD中，AD＝CD·tan30°＝9×3＝33.

3在Rt△BCD中，BD＝CD·tan45°＝9×1＝9.

∴AB＝AD＋BD＝9＋33≈14(m)．

答：对面楼房AB的高度约为14 m.

20．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点ADDFF，G，且＝. ACCG

(1)求证：△ADF∽△ACG；

AD1AF(2)若＝，求的值．

AC2FG解：(1)∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE，

∴∠ADF＝∠C.

ADDF又∵＝，∴△ADF∽△ACG；

ACCGADAF(2)∵△ADF∽△ACG，∴＝.

ACAGAD1AF1又∵＝，∴＝，

AC2AG2∴AF＝1. FG21．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1 620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．

解：过点E作EF⊥AC于点F，EG⊥CD于点G.

在Rt△DEG中，

∵DE＝1 620，∠D＝30°，

1∴EG＝DE·sin∠D＝1 620×＝810，

2又∵BC＝857.5，CF＝EG，

∴BF＝BC－CF＝47.5，

BF在Rt△BEF中，∵tan∠BEF＝，∴EF＝3BF，

EF在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，设AB＝x，

AF∵tan∠AEF＝，

EF∴AF＝EF×tan∠AEF，

即x＋47.5＝(3)2×47.5，

解得x＝95，

答：雕像AB的高度为95尺．

22．在△ABC中，P为边AB上一点．

(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；

(2)若M为CP的中点，AC＝2，

①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；

②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．

解：(1)∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，

ACAP∴△APC∽△ACB，∴＝，∴AC2＝AP·AB.

ABAC(2)①取AP中点G，连接MG.

设AG＝x，则PG＝x，BG＝3－x.

APAC2x2易证△APC∽△GMB，∴＝，即＝，

GMBG13－x∴x2－3x＋1＝0.

3±5∴x＝，

2∵AB＝3，∴AP＝3±5，∴AP＝3＋5(舍)．

BP＝AB－AP＝5.

②BP＝7－1.