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第五章 万有引力与航天知识点总结

1、开普勒行星运动三大定律

①

第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

②

第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。

③

第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

a

k2T理解：（1）k是与太阳质量有关而与行星无关的常量． 32(2)开普勒第三定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时 a

/T

＝k′，比值k′是由行星的质量所决定的另一常量，与卫星无关． 2、万有引力定律

(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．

mm(2)公式：F＝G122,其中G6.671011Nm2/kg2，叫做引力常量。

r(3)适用条件：此公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离．

3、万有引力定律的应用

基本思路: 一是把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供;二是在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力. （1）把行星(或卫星)绕中心天体看做匀速圆周运动，万有引力充当向心力（F引=Fn）

2Mmv24π2G2＝m＝mωr＝m2r＝ma向

r增大

rrT3v2GMmvrr GMm 2rV减小

mr22GMr3 ω减小

T增大

42r32mrTTGMGMmanan2ran减小

Mmmg或gR2GM（R、g分别是天2R

（2）天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即G2体的半径、表面重力加速度），公式gRGM应用广泛，称“黄金代换”。

R 推论：距地面高为h处的重力加速度gg

Rh（3）用万有引力定律求星球的质量和密度

T、r法

g、R法

2

M Mm42r32

G2mrM2rGTT3r3

22GTR2GMgR2g2M

RGρ

3g

4RG若当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，

即 r=R， 则 4、宇宙速度

（1）第一宇宙速度v17.9km/s 近地卫星的环绕速度

推导：近地卫星（r=R) ，

万有引力提供向心力（F引=Fn） 3 （T为近地卫星的公转周期）

2GTMmv2GM 表达式一

G2mvRRR又由黄金代换式GMgR2 vgR 表达式二

第一宇宙速度既是卫星最大的环绕速度，也是卫星最小的发射速度

（2）第二宇宙速度v211.2km/s使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

（3）第三宇宙速度v316.7km/s使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

5、地球同步卫星

（1）轨道一定：在赤道的正上方

（2）周期一定：运动周期与地球自转周期相同，且T=24h （3）离地高度：h=36000km （4）线速度大小：v=3.1km/s （5）角速度大小：定值 （6）向心加速度大小：定值

6、同步卫星、近地卫星及赤道上物体的区别

（1）同步卫星，万有引力为它提供向心力，其向心加速度等于轨道处的重力加速度，比地面处的重力加速度小的多，运行周期T＝24小时．

（2）近地卫星可看做绕地球表面运行的卫星．

近地卫星由于离开了地球，它只受到一个万有引力的作用，万有引力全部充当向心力，其向心加速度近似等于地面上的重力加速度，即a＝g. 近地卫星的线速度为第一宇宙速度7.9 km/s，远大于地面赤道上物体的速度．其运行周期可由方程2Mm4πG2＝m2R求出，T＝84 min，远小于地球同步卫星的周期．

RT（3）放在赤道上的物体随地球自转时受到两个力的作用，一个是万有引力，另一个是地面对物体的支持力，即

Mm2G2－FN＝mωR.(FN＝mg)．

R由于物体的向心加速度远小于地面的重力加速度，因此在近似计算中常忽略地球自转影响，而认为物体的重力与物体受到的万有引力相等(这在前面已经提到过)．但在研究它随地球的自转而做匀速圆周运动时，应另当别论，此时它的周期及轨道半径分别等于地球自转周期24小时及地球半径．

通过以上讨论可以看出，放在赤道上的物体与近地卫星有着显著的区别. 首先两者的受力不同，前者

受到的万有引力只有一小部分充当向心力，绝大多数作为重力使得物体紧压地面；而后者受到的万有引力全部充当向心力，它们的运动周期和速度也不同，并且有很大的差异．赤道上的物体相对地球保持静止，而近地卫星相对于地球而言处于高速旋转状态. 而同步卫星和近地卫星都只受万有引力，全部提供向心力，研究方法相同．

7、卫星的变轨

Mmv2（1）当卫星的速度突然增加时，G2m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，rr脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v道时减小。

GM可知其运行速度比原轨rMmv2（2）当卫星的速度突然减小时，G2m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运rr动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由vGM可知其运行速度比r原轨道时增大。

（3）卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术．

v以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：在椭圆轨道远地点A点，万有引力FA＞m，要使卫星r2v改做圆周运动，必须满足FA＝m和FA⊥v，在远点已满足了FA⊥v的条件，所以只需增大速度，让速度增r2v大到m＝FA，这个任务由卫星自带的推进器完成．

r2 这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭圆轨道的远点由推进器加速，当速度达到沿圆轨道所需的速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道． 8、双星问题

宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。

特点归纳：（1）双星绕它们共同的圆心做匀速圆周运动，两星之间的万有引力提供各自需要的向心力（即F向

大小相等）

（2）双星系统中每颗星的角速度ω和周期T都相等；

（3）两星的轨道半径之和等于两星间的距离 (

R1＋R2＝l

) （4）由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω可得轨道半径与质量成反比，即固定点离质量大的星较近。

9、卫星的超重和失重

（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重．

(2)卫星进入轨道后（无论是圆轨道还是椭圆轨道）正常运转时，卫星上物体完全失重．

万有引力与航天题型总结

一、万有引力定律的应用

1、与重力加速度有关的计算

2、计算星球质量

2

3、计算星球密度

二、近地轨道卫星的相关物理量

1、人造卫星

2、近地轨道卫星

三、同步卫星的运行问题

四、卫星的变轨问题

1、渐变

2、突变

五、宇宙中的双星系统问题

1、宇宙中的双星系统

2、双星系统规律总结