阅读与思考　为什么√2不是有理数教案和课堂实录

《无理数》教学设计 第二课时

——“再探无理数”

教学内容

人教版《义务教育教科书》七年级《活动1 感受无理数》、《活动2 在数轴上表示无理数》．

设计思路

从本课的教学目标出发，为了让学生感受身边的无理数并活跃课堂气氛，设计了掷骰子产生随机数及学生报出生日期凑成一个无理数的活动一；活动二则是充分利用教材所提供的辅助材料，学生通过滚动圆形纸片、用绳绕瓶盖、拼图和尺规作图的方式，在数轴上找出表示和面积为2的正方形边长a的方法，感受无理数也能在数轴上表示出来；通过阅读一则有关发现无理数的小故事，让学生了解相应的数学文化，培养其数学素养．

教学目标

1.知识与技能

通过无理数的构造，感受无理数在现实生活的客观存在性；通过拼图及圆形纸片的滚动的活动，能在数轴上分别表示出面积为2的正方形的边长a以及圆周率π所对应的点．

2.过程与方法

通过让学生参与无理数的构造及在数轴上找出表示无理数的点这两个活动，感受无理数存在的现实性与合理性，培养学生动手操作能力、团队协作能力及创新意识．

3.情感、态度与价值观

（1）激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情，通过动手感受数形结合思想；

（2）引导学生充分进行交流、讨论与探索等教学活动，培养他

们的合作与钻研精神；

（3）了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神． 教学重点

通过活动，感受无理数存在的现实性和合理性． 教学难点

通过拼图和圆形纸片的滚动，在数轴上分别表示出面积为2的正方形的边长a以及圆周率π所对应的点．

教学过程

活动一、感受无理数

1.（出示教具——两个很大的纸质红色骰子）

在不少游戏中我们都会用到骰子．至于这节课上这个骰子要用来做什么？．

【设计意图】利用一个骰子吸引学生的注意力，激发他们的好奇心，学生很想知道这个骰子到底要用来做什么，于是便跟着教师往下走．

2.在前面的课程中我们已经学习了有关无理数的知识．那么这节课，我们来对无理数做进一步的研究．首先，怎样的数我们称为无理数呢？

看来大家对无理数还比较陌生、不够熟悉，其实我们身边就有好多的无理数只是大家没发现而已．不如这样吧，我们大家一起来构造一个无理数．

（学生很好奇如何来构造无理数，教师在黑板上写下：“0.”，并拿出骰子．）

3.我们以个位数零开头，请5位同学依次扔骰子，产生小数点后的前5个数字．谁先来扔第一个数？

4.我再请几位同学报出自己的出生日期，作为这个无理数的一部分．谁来说一下？

5.一个新的无理数诞生了！其实无理数就隐藏在我们身边，等着大家去发现．同学们课余在也可以用别的方式来做一些构造无理数的尝试．

【设计意图】教师开场便点明本课的内容是对无理数的再次探究，回顾了无理数的概念并让学生例举自己熟悉的无理数，指出学生对无理数不是特别熟悉，进而引出本课的第一个活动——感受无理数，并通过扔骰子和报出生日期两个互动环节来构造无理数，让学生从“数”的角度感受无理数就在自己身边．这个设计简单明了，直奔主题．同时两个互动环节很快地活跃了课堂气氛，充分调动了学生的积极性，学生也乐在其中，主动参与到构造无理数的活动中．

活动二、在数轴上表示无理数

1. 在数轴上表示

（1）我们知道，有理数可以用数轴上的点来表示，那无理数可以在数轴上表示吗？问题来了，我们怎样在数轴上把无理数表示出来呢？比如大家刚才提到的，你能在数轴上找到表示它的点吗？下面就让我们一起来动手试一试！

（学生将实验手册翻到附录一，揭下上面的圆形纸片，用剪刀把边缘修剪光滑，请大家将圆形纸片和附录中给出的数轴的刻度对比一下，你能说出纸片的直径和周长分别是多少吗？）

（2）你能在数轴上把它表示出来吗？请同学们互相讨论一下，再动动手试着把表示它的点在数轴上找出来．

（学生开始展开讨论，并且动手在书上比划起来．）

用刚才的这些方法找出的的位置或多或少总会有些误差．如果要非常精确的表示无理数，就只能借助于计算机了．下面请同学们

观看一下课件的演示，如何精确地找出的位置．

（播放几何画板课件的动画：一个圆形的直径的一个端点点A与原点重合(图1)，随后沿着数轴滚动一周并留下一段红色的轨迹（图2），点A的落点即为表示无理数的点的位置．）

【设计意图】学生在活动一中已经提到了圆周率，于是活动二就提出在数轴上把表示出来，这样的设计显得比较自然．学生在数轴上找出表示的点的过程中，主要遇到的一个问题就是会产生一定的误差．学生将纸片“躺”在书上沿着数轴滚动，或者学生将纸片“站”在书本上沿着数轴滚动，学生通过两种方式的展示和自己的动手实践，不需要教师过多的解释就能够很明显地体会两者的差别．随后教师提示了学生借助绳子来测量圆的周长，进而在数轴上表示出的方法，这种方法更贴近生活，也易于为学生所接受．最后通过课件的动画演示，让学生直观的感受，能够在数轴上表示出来这一事实以及精确表示它的方法．

2.在数轴上表示

师：现在我们知道如何在数轴上表示圆周率这个无理数了，下面再来试试别的无理数如何表示．请大家将附录一上的两个小正方形揭下来，并和数轴上的刻度对比一下，看看正方形的边长是多少．

（学生揭下正方形，并与数轴的刻度对比．）

师：你能把两个小正方形拼成一个正方形吗？请大家动手试一试．

并提问：大正方形的面积是多少？我们假设这个大正方形的边长为a（在黑板上的正方形旁标出a），那a应该满足什么条件？

它是一个什么数？那么你能在数轴上把它表示出来吗？请大家互相讨论，并动手试一试．

（学生尝试了一会儿后，教师请学生上黑板演示．学生将一个等腰直角三角形的斜边贴在数轴上（图4），标出它的位置．）

问：很好，你能说一下这么标的依据是什么吗？

（学生到黑板上演示，教师在旁边辅助，利用尺规作出图像，得出它的位置（图5）．）

师：在正方形纸片的边长不是1，有误差的时候，我们可以用直尺重新画一个直角边长为1的直角三角形，再以斜边为半径利用圆规画出一段弧线，弧线与数轴相交的点就是我们要找的的位置了．通过作图，我们所得到的点就比刚才要精确多了．下面请大家一起观看一下动画演示．（教师播放课件动画（图6）．）

通过刚才的动手操作，相信大家都很直观地体会到无理数能通过一些方法在数轴上表示出来．课后大家也可以做一些别的尝试，加深对无理数的认识．

【设计意图】学生通过拼图，从“形”的角度对无理数有了一定认识．在这个过程中，产生了两种不同的方式．首先是直接利用直角边为1的等腰直角三角形的斜边，贴在数轴上标出无理数．教师引导学生思考，如果正方形纸片的边长出现误差，如何精确找出无理数．于是引出尺规作图，给学生从不够精确到精确表示无理数的一种体验，同时初步了解尺规作图的方法及其优越性．活动二的两个环节，紧紧围绕着“感受无理数”这一核心展开，让学生通过讨论合作并动手实践去探索解决问题的方法，积累了数学活动的经验．

活动三、有关发现无理数的故事

（展示故事内容：2500年前，当时的数学家毕达哥拉斯认为“宇宙中存在的数都是有理数”，拥护他的人认为毕达哥拉斯是至高无上

的，他所说的一切都是真理．但后来有一位年轻学者希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，为此希伯索斯被投入大海．他为真理献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的．后来人们正视了希伯索斯的发现，也就是我们前面谈到的a2＝2中的a不是有理数．）

关于无理数的发现，其实还有一个悲剧的故事，大家有兴趣来了解一下吗？那就请我们的语文课代表来大声地为大家朗读一下吧.....．

同学们，我们现在所学习的各种知识，都是前人经过不断地探索发现实践总结得到的，在我们积极学习这些宝贵知识的过程中，还要不断钻研、不断思考并不断地质疑，要学习希伯索斯那种追求真理的精神．

【设计意图】通过这则故事，一方面可以让学生对无理数产生的背景有一定了解，增长一些有关古希腊数学的知识；另一方面也鼓励学生在求学过程中不断探索和钻研，用一种孜孜以求的精神去追求真理，起到了画龙点睛的作用．