一元二次方程的根的判别式名师课堂实录

一元二次方程根的判别式的意义及应用

教学目标

(一)使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；

(二)使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况. 教学重点和难点

重点：一元二次方程的根的判别式的运用. 难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解. 教学过程设计

(一)复习

1.请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前

，必须写出哪两步?为什么要先写这两步? 例 用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上) 2 2x+10x-7=0. 解：因为a=2,b=10,c=-7, ①

22 b-4ac=10-4×2×(-7)=156＞0, ②

x10156539539539，所以x1

,x22222222 2.为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步? 答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下，a,b,c的取值，这是

要先写①式的原因；

2 因为一元二次方程不一定有(实数)解，所以有必要先了解一下代数式b-4ac的值，

2如果b-4ac的值是负的，则方程无(实数)解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写②

式的原因. (二)新课

22 1.从上面的解释可见，在一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)中，代数式b-4ac起着重

Δ=b-4ac(注意不是Δ=b24ac

2 2.教师紧接着提问学生：根的判别式是判别根的什么? 3.把课本P27的黑体字(实际上就是定理)用三个定理来表示(我们通常把记号AB表

示为A是命题的条件，B是命题的结论)于是有：

2 定理1 ax+bx+c=0(a≠0)中，Δ0方程有两个不等实数根. 2 定理2 ax+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根. 2 定理3 ax+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.

注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，我们还得到三个定理，那就是

2

定理4 ax+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0. 2

定理5 ax+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0. 2

定理6 ax+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0. 显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理.定理3与定理6，

互逆定理. 定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况.(课本P27的例(1)，(2)，(3)，用这组定理来解) 定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确系数之间的关系，进而求出系数中某些

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字母的值.(课本P29，习题12.3，B组的1，用这组定理来解)

运用根的判别式解题举例

例1 不解方程，判别下列方程根的情况. 22

(1) 2x+3x-4=0; (2) 16y2+9=24y; (3)5(x+1)-7x=0. 2 解：(1)因为Δ=3-4×2(-4)=9+32＞0；所以原方程有两个不相等的实数根.

(注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式.②只要知道Δ＞0, Δ=0 , Δ＜0就可以了，所以课本没有算出9+32=41＝

2 2(2) 原方程变形为16y-24y+9=0,因为Δ=(-24)-4×16×9=576-576=0，所以原方程有

两个相等实数根. 2

2(3) 原方程变形为5x-7x+5=0,因为Δ=(-7)-4×5×5=49-100＜0,所以原方程没有实数根. 22

例2 已知方程2x+(k-9)x+(k+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的. 2222

解：因为方程有两个相等实数根，所以Δ=0,即(k-9)-8(k+3k+4)=0,k-18k+81-8k-2 24k-32k=0，化简，得k+6k-7=0,(k+7)(k-7)=0，所以k1=-7,k=1. 2

当k=-7时，原方程为2x-16x+32=0,得x1=x2=4; 2 当k=1时，原方程为2x-8x+8=0,得x3=x4=2. (问：本题的算理是什么?答：是定理5) 22

例3 若关于x的方程x+2(a+1)x+(a+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值.

分析：要注意两个条件：①有实数根，②a是正整数. 22

解：由方程有实根Δ≥0，得[2(a+1)]-4×1×(a+4a-5)≥0,不等式两边同除以正数

224，不等号的方向不变，得a+2a+1-a-4a+5≥0,,-2a+6≥0,所以a≤3. 因为a是正整数，所以a=1,2,3. (注意：本题的算理是根据定理4，5，而不是定理1，2)

(三)课堂练习

2

1.关于x一元二次方程kx-2x-1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是_______. 22

2.当1 4a＜b,关于x的方程x-ax+b=0的实情况是_______

(答案或提示：1.k＞-1且k≠0; 2.无实数根)

(四)小结

1.根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况：方程有没有实数根；如果有实根，

是两个相等实根，还是不相等实根.

2.运用根的判别式解题时，必须先把方程化为一元二次方程的一般形式，并认准a,b,c 的值.

3.要注意课本P27第8行的“反过来也成立”.在解题时，应明确何时用定理1，2，3，何时，用定理4，5，6.

(五)作业

1.读课文P26～P27.

2.下列方程中，有两个相等实数根的方程是( ).

2

3.若方程(k2-1)x-6(3k-1)+72=0有两个不同的正整数根，则整数k的值是( ). 2222

4.若a,b,c互不相等，则方程(a+b+c)x+2(a+b+c)x+3=0( ). (A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根

(C) 没有实数根 (D) 根的情况不确定

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5.不解方程，判别下列方程的根的情况：

2

6.已知关于x的方程x+(2m+1)x+(m-2)2=0.m取什么值时，

(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3) 方程没有实数根? 27.k取什么值时，方程4x-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根?并求出这时方程的根. 28.求证：关于x的方程x+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根. 作业的答案或提示

2.(B).

223.(C). 因为Δ=36(3k-1)-288(k-1)=36(k-3),当k≠3时，要使.同时为正整数，只有k=2. 2222222 2

4.(C) 因为Δ=4(a+b+c)-12(a+b+c)=4(-2a-2b-2c+2ab+2ac+2bc)=-2[(a-b)+(b 2 2-c)+(c-a)]＜0. 2

5.(1) Δ=4-4×2×35＜0,原方以有实数根；

2 22

(2) 4m-4m+1=0, Δ=(-4m)-16m=0,原方程有两个相等的实数根；

2

(3) 0.4x-3x-10-=0, Δ=9-4×0.4×(-10)＞0,原方程有两个不相等的实数根；

2 2 (4) 4y-2.4y+0.36=0, Δ=(-2.4)-4×4×0.36=0,原方程有两个相等的实数根；

(5) x-2 3x-222=0, Δ=(-23)2-4×(-22)＞0,原方程有两个不相等的实2数根；

(6) 5 5t-10t+5=0, Δ=100-4×55×5=0,原方程有两个相等的实数根；

2 6.=(2m+1)-4(m-2)=5(4m-3) 223时，原方程有两个不相等的实数根；

433 (2) 当m=时，原方程有两个相等的实数根；(3)当m＜时，原方程没有实数根. 44

(1) 当4m-3＞0,即m＞

7.令Δ=(k+2)-4×4(k-1)=0,k-12k+20=0,k1=2,k2=10. 221; 232 当k=10时，原方程4x-12x+9=0,x1=x2=. 2 当k=2时，原方程4x-4x+1=0,x1=x2=2

8.因为Δ=(2k+1)-4(k-1)=4k+4k+1-4k+4=4k+5＞0,所以原方程有两个不相等的实数根. 课堂教学设计说明

1.为了很自然地引入新课的课题，在本节课开始请学生回忆上节课用求根公式法解一

2元二次方程的书写步骤，特别要问学生为什么在代入求根公式之前要先计算一下b-4ac的值

2.由此引入b-4ac的名称的作用. 22

2.在新课中，提出一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)中的b-4ac叫做根的判别式后，提醒学生要注意两点：(1)根的判别不是b24acb2-4ac;(2)判别根的什么性质. 222

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3.教学设计中，把根的判别式性质用三个原命题与三个相应的逆命题形式出现，把条件

与结论分得明确，使学生易于接受及记忆.

4.上述命题与逆命题的功能分为两类，一类是已知方程的系数，要判别方程根的情况，

为此教学设计中，安排了例1；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的

值或求字母间的关系式，为些教学设计中，安排了例2，例3.为了强化这两类问题的功能.在

题目安排中，并提问了解题所依据的算理是什么.

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