一元二次方程的根的判别式教学设计和教学实录

第二章 一元二次方程

３．用公式法求解一元二次方程（一）

沈阳大学附属实验学校初中部

王红梅

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程. 学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力. 二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难

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点。

为此，本节课的教学目标是：

①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力. ③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力. 三、教学过程分析

本课时分为以下七个教学环节：第一环节：课前热身；第二环节：自主学习；第三环节：探究新知；第四环节：展示讲解；第五环节：归纳总结；第六环节：巩固提升；第七环节：课后作业；第八环节：当堂测试。

第一环节；课前热身

活动内容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算

②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0

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两边都除以一次项系数:2 x273x022 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 x277493x()2024162

即: 725(x)20416

725(x)2416

两边开平方取“±” 得： x7544

7544

x1

写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=2

第二题： 3x2+2x+1=0 解：两边都除以一次项系数:3 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 2111x2x()20

3393x221x033 即: (x1)220

3912(x)239

∵20

9∴原方程无解

活动目的：

（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方

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程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。

活动的实际效果：

通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。

第二环节

自主学习

活动1：自主推导求根公式。

提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式. 解：两边都除以一次项系数:a x 问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a≠0 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

bbbc22bcx0 aax2ax(2a)24a2a0即:

b2b24ac(x)0a4a2b2b24ac

(x)a4a2 问：现在可以两边开平方吗？

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答：不可以，因为不能保证 b 问：什么情况下

b224ac

024a4ac

024a 学生讨论后回答：

答：

∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b24ac

024a只要 b2-4ac≥0即可

∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得：

xbabb24ac

bb24ac 即

xxa2a2ab24ac 4a2问：如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？

答：方程无解

如果b2-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。

活动目的：

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。

活动的实际效果：

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：

（1）现错误

（2）不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方

（3）两边开平方，忽略取“±”。

5 中b2c运算的符号出现错误和通分出bb2b2cxx()204a2aa2a4aa2

大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。

第三环节：合作探究

活动2：归纳总结公式法定义和根的判别式。

活动2：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。

活动3：问题

（1）你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗？你是怎么想的？

（2）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac<0时，它的根的情

况是怎样的？与同伴交流。

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，

当b2-4ac≥0时，方程有 ；

当b2-4ac=0时，方程有 ；

当b2-4ac<0时，方程 。 由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 来判定。我们把 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示。

第四环节：

活动内容：展示讲解

例：解方程 （1）2x2+3=7x （2） 9x2+6x+1=0

与第一环节中的第（1）题对比，哪种方法更简捷？

用公式法解下列方程

例1：解方程 2x2+3=7x 解： 2x2-7x+3=0 先将方程化成一般形式

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a=2, b=-7, c=3 确定a,b,c的值 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0 判断方程是否有根

∴bb4acx2a725752242 写出方程的根 即x1=3,x2=-1

2问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？

例2：解方程 9x2+6x+1=0

解：a=9, b=6, c=1 确定a,b,c的值 ∵b2-4ac=62-4×9×1=0 判断方程是否有根

bb24acx2a60

∴

29601813即x1=x2=-

活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。

活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结．大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。 第五环节：总结归纳

活动内容： 提出问题：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

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2、如何判断一元二次方程根的情况？

3、用公式法解方程应注意的问题是什么？

4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？

让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。

活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。 第六环节：巩固提升

1.用公式法解一元二次方程的根时，首先要确定a,b,c的值，对于方程2x293x，

a= ,b= ,c= 。

2.一元二次方程2x293x的根的情况（ ）

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根

3.用公式法解方程：（1）x27x180 （2）x22x20

第七环节：分层作业

（1）A、B、C组学生全做

1、课本43页随堂练习1,2题。

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2、知识技能1、2题。

（2）B组学生加随堂练习3，问题解决3. （3）C组学生再加问题解决4。

四、教学反思

1、要创造性的使用教材

教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。

2、要为学生的终身学习奠基

这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.

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