一元二次方程的概念教学教案设计

2.1

认识一元二次方程

第1课时

一元二次方程

【学习目标】

1．探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识．

2．在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．

3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．

【学习重点】

一元二次方程的概念．

【学习难点】

如何把实际问题转化为数学方程．

情景导入

生成问题

1．单项式和多项式统称为整式．

2．含有未知数的等式叫做方程．

3．计算：(x＋2)2＝x2＋4x＋4；(x－3)2＝x2－6x＋9．

4．计算：(5－2x)(8－2x)＝4x2－26x＋40．

自学互研

生成能力

知识模块一

探索一元二次方程

先阅读教材P31“议一议”前面的内容，然后完成下面问题：

1．在第一个问题中，地毯的长可以表示为(8－2x)m，宽可以表示为(5－2x)m，由矩形的面积公式可以列出方程为(8－2x)(5－2x)＝18．

2．在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x，你又能列出怎样的方程呢？

答：设五个连续整数中间的一个数为x，由题意可列方程，得(x－2)2＋(x－1)2＋x2＝(x＋1)2＋(x＋2)2

1．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

2．问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？

你能设出未知数，列出相应的方程吗？

答：问题1由题意可列方程：(100－2x)(50－2x)＝3600；问题2由题意可列出方程：(x＋6)2＋72＝102. 3．你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？

(1)(100－2x)(50－2x)＝3600 (2)(x＋6)2＋72＝102

归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)

这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

知识模块二

一元二次方程有关概念的应用

解答下列各题：

1．下列方程中，是一元二次方程的是(

C

) 1A．x2＋2y－1＝0

B．x＋2y2＝5

C．2x2＝2x－1

D．x2＋x－2＝0 2．将方程(x＋3)2＝8x化成一般形式为x2－2x＋9＝0，其二次项系数为__1__，一次项系数是__－2__，常数项是__9__．

典例讲解：关于x的方程mx2－3x＝x2－mx＋2是一元二次方程，m应满足什么条件？

分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可．

解：由mx2－3x＝x2－mx＋2得到(m－1)x2＋(m－3)x－2＝0，所以m－1≠0，即m≠1.所以关于x的方程mx2－3x＝x2－mx＋2是一元二次方程，m应满足m≠1. 对应练习：

1．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取值范围是a≠1．

2．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足m＝－2时，它是一元一次方程；当m满足m≠－2时，它是一元二次方程．

3．(易错题)已知关于x的方程(m－2)x|m|＋3x－4＝0是一元二次方程，那么m的值是(

C

) A．2

B．±2

C．－2

D．1 交流展示

生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一

探索一元二次方程

知识模块二

一元二次方程有关概念的应用

检测反馈

达成目标

1．在下列方程中，是一元二次方程的有(

A

) 12222①2x－1＝0；②ax＋bx＋c＝0；③(x＋2)(x－3)＝x－3；④2x－x＝0. A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2．把方程(x－5)(x＋5)＋(2x－1)2＝0化成一元二次方程的一般形式为(

A

) A．5x2－4x－4＝0 B．x2－5＝0 C．5x2－2x＋1＝0 D．5x2－4x＋6＝0 3．阅读材料，解答问题：

有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长？问题：

(1)如果设小正方形的边长为xcm，那么盒子底面的长为(80－2x)cm；宽为(60－2x)cm，根据题意，所列方程为(80－2x)(60－2x)＝1500．

(2)所列方程的一般形式是什么？是哪一种方程？并指出其各项的系数．

一般形式为x2－70x＋825＝0，是一元二次方程．二次项系数为1，一次项系数为－70，常数项为825 课后反思

查漏补缺

1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________