本章小结教案和学案内容

等时圆

例题1：如图所示，O、A、B、C、D在同一圆周上，

、

、

、

是四条光滑的弦，一小物体从O点开始下滑到A、B、C、D所用的时间具有什么关系？

一、追及、相遇模型

模型讲解：

1．

火车甲正以速度v1向前行驶，司机突然发现前方距甲d处有火车乙正以较小速度v2同向匀速行驶，于是他立即刹车，使火车做匀减速运动。为了使两车不相撞，加速度a应满足什么条件？

解析：设以火车乙为参照物，则甲相对乙做初速为(v1v2)、加速度为a的匀减速运动。若甲相对乙的速度为零时两车不相撞，则此后就不会相撞。因此，不相撞的临界条件是：甲车减速到与乙车车速相同时，甲相对乙的位移为d。

(v1v2)2即：0(v1v2)2ad，a，

2d2(v1v2)2故不相撞的条件为a

2d

2．

甲、乙两物体相距s，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。甲物体在前，初速度为v1，加速度大小为a1。乙物体在后，初速度为v2，加速度大小为a2且知v1

解析：若是v1v2，说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。在运动过程中，a1a2乙的速度一直大于甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最近，可得最近距离为

2v12v2

ss2a12a2若是v1v2，说明乙物体先停止运动那么两物体在运动过程中总存在速度相等的时a2a2刻，此时两物体相距最近，根据v共v1a1tv2a2t，求得

tv2v1

a2a1在t时间内

甲的位移s1v共v12v共v22t

乙的位移s2t

代入表达式sss1s2

求得ss(v2v1)

2(a2a1)

3．

如图1.01所示，声源S和观察者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速率分别为vS和vA。空气中声音传播的速率为vP，设vSvP，vAvP，空气相对于地面没有流动。

图1.01 （1）

若声源相继发出两个声信号。时间间隔为t，请根据发出的这两个声信号从声源传播到观察者的过程。确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔t'。

（2）

请利用（1）的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式。

解析：作声源S、观察者A、声信号P（P1为首发声信号，P2为再发声信号）的位移—时间图象如图2所示图线的斜率即为它们的速度vS、vA、vP则有：

图2 svStvP(tt0)s'vAt'vP(t't0)两式相减可得：

vAt'vStvP(t't)

vPvSt

vPvA解得t'（2）设声源发出声波的振动周期为T，这样，由以上结论，观察者接收到的声波振动的周期为

T'vPvST

vPvA由此可得，观察者接收到的声波频率与声源发出声波频率间的关系为

f'vPvAf

vPvS

4．

在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使

（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。

答案：设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追及乙车时，应有

v甲ta甲t22v乙tL

其中tv甲v乙a甲，解得L25m

若L25m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，及两车不相遇。

若L25m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大。

若L25m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次。

二、先加速后减速模型

模型概述：

物体先加速后减速的问题是运动学中典型的综合问题，也是近几年的高考热点，同学在求解这类问题时一定要注意前一过程的末速度是下一过程的初速度，如能画出速度图象就更明确过程了。

模型讲解：

1．

一小圆盘静止在桌面上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图1.02所示。已知盘与桌布间的动摩擦因数为1，盘与桌面间的动摩擦因数为2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最近未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？（以g表示重力加速度）

图1.02

解析：根据题意可作出物块的速度图象如图2所示。设圆盘的质量为m，桌边长为L，在桌布从圆盘下抽出的过程中，盘的加速度为a1，有1mgma1

图2 桌布抽出后，盘在桌面上做匀减速运动，以a2表示加速度的大小，有2mgma2

设盘刚离开桌布时的速度为v1，移动的距离为x1，离开桌布后在桌面上再运动距离x2后便停下，由匀变速直线运动的规律可得：

v122a1x1

①

v122a2x2

L

2②

盘没有从桌面上掉下的条件是：x1x2③

设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为x，有：

x121Lat，x1a1t2，而xx1，求得：

222tLL，及v1a1ta1

aa1aa1联立解得a(122)1g2

2．

一个质量为m=0.2kg的物体静止在水平面上，用一水平恒力F作用在物体上10s，然后撤去水平力F，再经20s物体静止，该物体的速度图象如图3所示，则下面说法中正确的是（

）

A. 物体通过的总位移为150m

B. 物体的最大动能为20J C. 物体前10s内和后10s内加速度大小之比为2：1 D. 物体所受水平恒力和摩擦力大小之比为3：1 答案：ACD

专题一：匀减速陷阱。

说明：匀减速运动很可能在给定时间内己经停止运动了。

例1）一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1 s内和第2 s(

) A．20 m

B．24 m

C．25 m

D．75 m

答案：Ｃ．注意：ａ＝一２，V=10.。5秒就停止运动了

例2．一木块以某一初速度在粗糙的水平地面上做匀减速直线运动，最后停下来．若此木块在最初5 s和最后5 s内通过的路程之比为11∶5，问此木块一共运动了多长时间？

答案：8秒。注意：前5秒与后5秒有交叉时间

例题3 内位移大小依次为9 m和7 m．则刹车后6

s内的位移是

答案：D。注意：第3秒内不是全都运动。2.5秒就停了。ａ=－４

1．

一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在静水中速度为v船，那么：

（1）怎样渡河时间最短？

（2）若v船v水，怎样渡河位移最小？

（3）若v船v水，怎样渡河船漂下的距离最短？

解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1v船sin，渡河所需要的时间

为tLLsin1，可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当90时，v1v船sinL。

v船（最大）。所以，船头与河岸垂直tmin

图4 （2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，v水并与河岸成一定的角度θ，所以有v船cosv水，即arccos。

v船

图5 因为0cos1，所以只有在v船v水时，船才有可能垂直河岸渡河。

（3）若v船v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？

如图6所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据cosv船v水

图6 v船船头与河岸的夹角应为arccos，船沿河漂下的最短距离为：

v水xmin(v水v船cos)L

v船sinLv水L此时渡河的最短位移：s

cosv船

2．

小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v水kx，k4v0，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度d为v0，则下列说法中正确的是（

）

A. 小船渡河的轨迹为曲线

B. 小船到达离河岸d处，船渡河的速度为2v0

2C. 小船渡河时的轨迹为直线

D. 小船到达离河岸3d/4处，船的渡河速度为10v0

答案：A