6. 匀变速直线运动位移与时间的关系新颖的课程导入教案

<<匀变速直线运动的位移与时间的关系>>教学设计

三维目标

知识与技能

1．知道匀速直线运动的位移与时间的关系；

2．了解位移公式的推导方法，掌握位移公式xv0tat2；

3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用；

4．理解v－t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移；

过程与方法

1．通过近似推导位移公式的过程，体验微元法的特点和技巧，能把瞬时速度的求法与此比较；

2．感悟一些数学方法的应用特点。

情感态度与价值观

1．经历微元法推导位移公式和公式法推导速度位移关系，培养自己动手的能力，增加物理情感；

2．体验成功的快乐和方法的意义，增强科学能力的价值观。

教学重点

理解匀变速直线运动的位移与时间的关系xv0tat2及其应用；

教学难点

1．v－t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移；

2．微元法推导位移时间关系式；

3．匀变速直线运动的位移与时间的关系xv0tat2及其灵活应用。

教学方法

探究、讲授、讨论、练习。

教具准备

坐标纸、铅笔、刻度尺、多媒体课件。

课时安排

2课时。

教学过程

[新课导入] 匀变速直线运动跟我们生活的关系密切，研究匀变速直线运动很有意义。对于运动问题，人们不仅关注物体运动的速度随时间变化的规律，而且还希望知道物体运动的位移随时间变化的规律。

我们用我国古代数学家刘徽的思想方法来探究匀变速直线运动的位移与时间的关系。

[新课教学] 一、匀速直线运动的位移

我们先从最简单的匀速直线运动的位移与时间的关系入手，讨论位移与时间的关系。

1．匀速直线运动的位移公式

我们取初始时刻质点所在的位置为坐标原点。则有t时刻原点的位置坐标与质点在0～t一段时间间隔内的位移相同。得出位移公式

x＝vt

2．速度一时间图线下方与时间轴之间包围的“面积”值等于位移大小

1 121212

请大家根据速度一时间图象的意义，画出匀速直线运动的速度一时间图象。

学生动手定性画出一质点做匀速直线运动的速度一时间图象，如图所示

v/m·s-1 请同学们结合自己所画的图象，求图线与初、末时刻线和时间轴围成的矩形v 面积。

正好是vt。

O t

t/s 匀速运动的位移x＝vt，在速度图象中，就对应着边长分别为v和t的一块矩形面积值。所以：v—t图线下方与时间轴之间包围的“面积”值表示对应时间内的位移大小。

注意：“面积”与“位移”并不相等，两者只是数值相等。

[思考与讨论] 当速度值为正值和为负值时，它们的位移有什么不同? 当速度值为正值时，x＝vt＞0，图线与时间轴所围成的矩形在时间轴的上方。当速度值为负值时，x＝vt＜0，图线与时间轴所围成的矩形在时间轴的下方。

位移x＞0表示位移方向与规定的正方向相同，位移x＜0表示位移方向与规定的正方向相反。

对于匀变速直线运动，它的位移与它的v—t图象，是不是也有类似的关系呢? 二、匀变速直线运动的位移

[思考与讨论] 学生阅读教材第37页思考与讨论栏目，老师组织学生讨论这一问题。

在“探究小车的运动规律”的测量记录中，某同学得到了小车在0，1，2，3，4，5几个位置的瞬时速度．如下表：

位置编号

时间t/s 速度v/(m·s—1) 0 0 0.38 1 0.1 0.63 2 0.2 0.88 3 0.3 1.11 4 0.4 1.38 5 0.5 1.62 师：能否根据表中的数据，用最简便的方法估算实验中小车从位置0到位置5的位移? 学生讨论后回答。

生：在估算的前提下，我们可以用某一时刻的瞬时速度代表它附近的一小段时间内的平均速度，当所取的时间间隔越小时，这一瞬时的速度越能更准确地描述那一段时间内的平均运动快慢。用这种方法得到的各段的平均速度乘以相应的时间间隔，得到该区段的位移x＝vt，将这些位移加起来，就得到总位移。

师：当我们在上面的讨论中不是取0.1s时，而是取得更小些，比如0.06s，同样用这个方法计算，误差会更小些，若取0.04 s，0.02 s……误差会怎样? 生：误差会更小。所取时间间隔越短，平均速度越能更精确地描述那一瞬时的速度，误差也就越小。

1．匀变速直线运动的位移与时间关系的公式

下面我们采用这种思想方法研究匀加速直线运动的速度一时间图象。

按照上面讨论中提出的思想，我们通过v－t图象，研究以初速度v0做匀变速直线运动的物体，在时间

2 甲

乙

丙

丁

t内发生的位移。物体运动的v－t图象如图甲所示。先把物体的运动分成几个小段，例如t算一个小段，在v－t图中，每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示，如图乙。我们以每小段起始时刻的速度乘以时间t近似地当做各小段中物体的位移，各段位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表。5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个过程中的位移。

当然，上面的做法是粗糙的。为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如图丙，用所有这些小段的位移之和，近似代表物体在整个过程中的位移。从v－t图上看，就是用更多的但是更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移。

可以想像，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能准确地代表物体的位移了。这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起成了一个梯形OABC。梯形OABC的面积就代表做匀变速直线运动物体在0（此时速度是v0）到t（此时速度是v）这段时间的位移。

怎样计算梯形的面积？

哪两条线段是梯形的底，哪两条是梯形的腰？

在图丁中，v－t直线下面的梯形OABC的面积是：S(OCAB)OA

把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成：x(v0v)t

把前面已经得出的v＝v0＋at代入，得到：

151512121xv0tat2

2这就是表示匀变速直线运动的位移与时间关系的公式。

这个位移公式虽然是在匀加速直线运动的情景下导出的，但也同样适用于匀减速直线运动。

2．公式中各物理量的意义

在公式xv0tat2中，我们讨论一下并说明各物理量的意义，以及应该注意的问题。

我们从匀变速直线运动的速度一时间图象来理解这个问题。

如图所示，在图上形象地标出了初速度、速度，从图象上用画斜线部分的面积表示位移来进一步加深v v 对公式的理解。

v

v0

at（是0～t时间内的速度变化量Δv，就是图上画右斜线部分的三角形的高，而该三角形的底恰好是时间间v

0v

1t t 隔t，所以该三角形的面积正好等于at2。该三角形下O O t t 2画左斜线部分的矩形的宽正好是初速度vo，而长就是时间间隔t，所以该矩形的面积等于v0t。于是这个三角形和矩形的“面积”之和，就等于这段时间间隔t内的位移（或t时刻的位置）。即xv0tat2。

类似的，初速度为v0的匀减速直线运动的速度图象，图象与时间轴所围成的梯形“面积”可看作长方1212

3

形“面积”v0t与三角形“面积”

12之差。

at2公式中有起始时刻的初速度v0，有t时刻末的位置x（t时间间隔内的位移），有匀变速运动的加速度a，有时间间隔t，公式中除时间t外，都是矢量。

物体做直线运动时，矢量的方向性可以在选定正方向后，用正、负来体现。方向与规定的正方向相同时，矢量取正值，方向与规定的负方向相反时，矢量取负值。

一般我们都选物体的运动方向或是初速度的方向为正，所以有：

匀加速运动，a＞0

1xv0tat2

2

匀减速运动，a＜0 匀变速直线运动的位移公式，既适合于匀加速运动，又适合于匀减速运动。以v0方向为正，在加速运动中，a取正值；在减速运动中，a取负值。当求出的x为正值时，表示位移方向与正方向一致。当求出的x为负值时，表示位移方向与正方向相反。位移公式为矢量式，在应用时要注意矢量的方向性。

3．特例：v0＝0，质点作初速度为零的匀加速直线运动。

1xat2

2

[例题剖析]

例题：一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12s，驶过了180m。汽车开始加速时的速度是多少？

分析：我们研究的是汽车从开始加速到驶过180m这个过程，历时12s，即x＝180m，t＝12s。这是个速度越来越大的过程，加速度的方向与速度的方向相同，取正号，所以a＝1m/s2。加速度始终是1m/s2，可以应用匀变速直线运动的规律。待求的量是这个过程的初速度v0。

请大家明确列出已知量、待求量，画物理过程示意图，确定研究的对象和研究的过程，学生自己画过程示意图，并把已知待求量在图上标出。

解：由xv0tat2可以解出：

12v0x1

att2

把已知数值代入：v0(1801112)m＝9m/s。

122汽车开始加速时的速度是9m/s。

一般应该先用字母代表物理量进行运算，得出用已知量表达未知量的关系式，然后再把数值代入式中，求出未知量的值。这样做能够清楚地看出未知量与已知量的关系，计算也比较简便。

[实例探究]关于刹车时的误解问题

例题：在平直公路上，一汽车的速度为15m/s。，从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2的加速度运动，问刹车后10s末车离开始刹车点多远？

思考：车做减速运动，是否运动了10s，这是本题必须考虑的。

分析：

初速度

v0＝15m/s，a＝－2m/s2，分析知车运动

7.5s就会停下，在后2.5s内，车停止不动。

解：设车实际运动时间为t，vt＝0，a＝－2m/s2。

由v＝v0＋at知：

4

运动时间：tv07.5s a12所以车的位移为：xv0tat256.25m。

[课堂训练] 1．在平直公路上，一汽车的速度为15m/s，从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2 m/s2的加速度运动，问刹车后10s末车离开始刹车点多远? 提示：7.5s后停下，故位移是56.25m,不能带入10s做题。

2．骑自行车的人以5m/s的初速度匀减速上一个斜坡，加速度的大小为0.4m/s2，斜坡长30m，骑自行车的人通过斜坡需要多少时间？

提示：减速运动加速度是负值，解得t＝10s或15s，讨论得出15s不合题意。

3．以10m/s的速度匀速行驶的汽车刹车后做匀减速运动。若汽车刹车后第2s内的位移为6.25m（刹车时间超过2s），则刹车后6s内汽车的位移是多大？

提示：第二秒内位移＝x2－x1＝6.25m，由此求得a，再求6s内汽车的位移是20m 4．以10m/s的速度行驶的汽车关闭油门后后做匀减速运动，经过6s停下来，求汽车刹车后的位移大小。

提示：30m。

三、用图象表示位移

1．位移一时间图象

描述相对于出发点的位移随时间变化关系的图象，叫做位移一时间图象，称为x—t图象。

2．匀变速直线运动的x—t图象。

思考与讨论：

运用初中学过的函数图象知识，你能画出初速度为0的匀变速直线运动x12at的x—t图象的草图吗？

2我们研究的是直线运动，为什么画出来的位移一时间图象不是直线呢? 位移图象反映的是位移随时间变化的规律，可以根据物体在不同时刻的位移在x—t坐标系中描点作出。直线运动是根据运动轨迹来命名的，而x—t图象中的图线不是运动轨迹，因此x—t图象中图线是不是直线与直线运动的轨迹没有任何直接关系。

位移与时间的关系式为xv0tat2，我们已经用图象表示了速度与时间的关系，那么，我们能不能用图象表示位移与时间的关系呢?位移与时间的关系也可以用图象来表示，怎样表示，请大家讨论，并亲自实践，做一做。

用初中学过的数学知识，如一次函数、二次函数等，画出匀变速直线运动x 12xv0t12的位移一时间图象的草图。如右图所示。

at2O t 点评：培养学生把数学课的知识在物理课中应用，体会物理与数学的密切关系，培养学生做关系式图象的处理技巧。

[小结] 本节重点学习了对匀变速直线运动的位移－时间公式xv0t12at的推导，并学习了运用该公式解决2实际问题。在利用公式求解时，一定要注意公式的矢量性问题。一般情况下，以初速度方向为正方向；当a与v0方向相同时，a为正值，公式即反映了匀加速直线运动的速度和位移随时间的变化规律；当a与v0方向相反对，a为负值，公式反映了匀减速直线运动的速度和位移随时间的变化规律。代入公式求解时，与正方向相同的代入正值，与正方向相反的物理量应代入负值。

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[布置作业]

教材40页“问题与练习”。

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