6. 匀变速直线运动位移与时间的关系教学设计及教案分析

6. 匀变速直线运动位移与时间的关系

学

习

目

标

1.知道匀变速直线运动的位移与v-t图像中梯形面积的对应关系．

2．知道位移公式的推导方法，感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法．(重点)

3．理解什么是x-t图像，能应用x-t图像分析物体的运动．(重点) 4．掌握匀变速直线运动的位移与时间的关系式，并能利用该公式解答实际问题．(难点)

匀

变

速

直

线

运

动

的

位

移

知

识

脉

络

[先填空] 1．利用匀变速直线运动v-t图像求位移大小．

图线与横轴t所围面积的数值，等于物体在该段时间内的位移．

如图1-6-1所示，画斜线部分表示时间t内的位移．

图1-6-1 12．公式：x＝v0t＋2at2.

[再判断] 11．位移公式x＝v0t＋2at 2仅适用于匀加速直线运动．(×) 2．初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大．(×) 3．匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．(√) [后思考]

物体做匀加速直线运动时速度随时间均匀增大，位移也随时间均匀增大吗？

【提示】

不是，匀加速直线运动的速度公式是vt＝v0＋at，速度与时间成1 2线性关系，均匀增大；位移公式是x＝v0t＋2at，位移与时间不成线性关系，位移虽增大，但不是均匀增大．

[合作探讨] 1探讨1：如何根据v-t图像中的“面积”表示位移？推导位移公式x＝v0t＋2at 2. 1【提示】

如图所示，速度图线和时间轴所包围的梯形面积为S＝2(OC＋AB)·OA.

1与之对应的物体的位移x＝2(v0＋v)t.

1由速度公式vt＝v0＋at，代入上式得x＝v0t＋2at 2. 1探讨2：

利用公式x＝v0t＋2at 2求出的位移大小等于物体运动的路程吗？

【提示】

不一定，当物体匀减速运动到速度为零再反向以等大的加速度匀加速运动时，位移的大小小于路程．

[核心点击]

1 21．对公式x＝v0t＋2at的理解

1(1)适用条件：位移公式x＝v0t＋2at 2适用于匀变速直线运动．

(2)公式的矢量性：因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向，一般以v0的方向为正方向．

若a与v0同向，则a取正值；

若a与v0反向，则a取负值；

若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正；

若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负．

2．两个重要结论

tv0＋vt(1)平均速度公式：v＝v＝

22即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．

推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为vt. 1由x＝v0t＋2at 2得，

x1平均速度v＝t＝v0＋2at. ①

②

t由速度公式vt＝v0＋at知，当t′＝2时，

ttv2＝v0＋a2，

t由②③得v＝v2. tt又vt＝v2＋a2，

③

④

⑤

tv0＋vttv0＋vt由③④⑤解得v2＝2，所以v＝v2＝2. (2)逐差相等

匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等．做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、

xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2. 14 29推导：x1＝v0T＋2aT 2，x2＝v0·2T＋2a·T，x3＝v0·3T＋2aT 2…，

1所以xⅠ＝x1＝v0T＋2aT 2；

3xⅡ＝x2－x1＝v0T＋2aT 2；

5xⅢ＝x3－x2＝v0T＋2aT 2…，

故xⅡ－xⅠ＝aT 2，xⅢ－xⅡ＝aT 2…，

所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.

有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求质点的初速度和加速度大小. 【导学号：96332019】

【解析】

(1)常规解法：由位移公式得

1x1＝vAT＋2aT 2，

112T＋2a2T2－vAT＋2aT 2.

x2＝

vA·将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入两式求得

vA＝1 m/s，a＝2.5 m/s2.

(2)用平均速度求解：

设物体通过A、B、C三点的速度分别为vA、vB、vC，

则有vA＋vBx1vB＋vCx2＝，＝，

2T2TvA＋vCx1＋x22＝2T，

解得vA＝1 m/s，vB＝11 m/s，

vC＝21 m/s，所以，加速度为

a＝vB－vA11－122＝

m/s＝2.5 m/s.

T4

(3)用推论公式求解：

由x2－x1＝at 2得64－24＝a·42，

1所以a＝2.5 m/s2，再代入x1＝vAT＋2aT 2可求得

vA＝1 m/s.

【答案】

1 m/s

2.5 m/s2

[迁移1]

(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则(

) 【导学号：96332020】

A．前3 s的位移是6 m B．3 s末的速度是3.6 m/s C．3 s内的平均速度是2 m/s D．第5 s内的平均速度是5.4 m/s 1

2112【解析】

由位移公式x＝2at知，第3 s内的位移为2a×3

m－2a×22

m1＝3 m，故加速度a＝1.2 m/s2，所以前3 s的位移x＝2×1.2×32 m＝5.4 m，A错；x5.4第3 s末的速度v＝at＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，B对；3 s内的平均速度v＝t＝3

m/s＝1.8 m/s，C错；第5 s内的平均速度等于第4.5 s末的瞬时速度，故v′＝at′＝1.2×4.5 m/s＝5.4 m/s，D对．

【答案】

BD [迁移2]

(多选)汽车从A点由静止开始沿直线ACB做匀变速直线运动，第4 s末通过C点时关闭发动机做匀减速运动，再经6 s到达B点停止，总共通过的位移是30 m，则下列说法正确的是(

) A．汽车在AC段与BC段的平均速度相同

B．汽车通过C点时的速度为3 m/s C．汽车通过C点时的速度为6 m/s D．AC段的长度为12 m v1＋v2【解析】

设汽车通过C点时的速度为vC，由v＝2可知，汽车在AC

vCvCvC段与BC段的平均速度均为v＝2，A正确；由2t1＋2t2＝xAB，t1＋t2＝10 s可vC得vC＝6 m/s，C正确，B错误；由xAC＝2t1可得：xAC＝12 m，D正确．

【答案】

ACD

tv0＋vt应用推论v＝v2＝2解题时的四点注意

tv0＋vt1．推论v＝v2＝2只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式，应注意v0与vt的正负．

2．该推论是求瞬时速度的常用方法．

tvttv03．当v0＝0时，v2＝2；vt＝0时，v2＝2. 4．经常与公式x＝v

t结合，求位移．

位

移—时

间

图

像

[先填空] 1．定义

以时间为横坐标，以位移为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像．

2．图像意义

匀速直线运动的x-t图像为一条倾斜直线，静止物体的x-t图像为一条平行于t轴的直线．如图1-6-2所示，A、B表示物体做匀速运动，C表示物体处于静止状态．

图1-6-2

[再判断] 1．x-t图线的斜率表示物体的速度．(√) 2．x-t图线就是物体运动的轨迹．(×) 3．匀速直线运动物体的x-t图像是一条水平直线．(×) [后思考]

匀速直线运动的位移公式为x＝vt，由此式可以得出它的位移x与时间t呈线性关系，作出的x-t图像为倾斜直线；匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t1＋2at2，那么它的x-t图像应为什么形状？

【提示】

匀变速直线运动的位移x是时间t的二次函数，由数学知识可知匀变速直线运动的x-t图像应为抛物线．

[合作探讨] 探讨：物体运动的快慢和方向怎样用x-t图像来表示？

【提示】

x-t图线的斜率大小表示物体运动速度的大小，斜率的正、负可以表示物体运动速度的方向，斜率为正值，表明物体沿正方向运动；斜率为负值，表明物体沿负方向运动．

[核心点击] 1．位移—时间图像

(1)匀速直线运动的x-t图像如图1-6-3甲所示是一条倾斜的直线．

(2)匀变速直线运动的x-t图像：v0＝0时如图1-6-3乙．

甲

乙

图1-6-3 2．x-t图像的意义

大小

位移

方向

大小

速度

方向

初、末位置的纵坐标差的绝对值

初、末位置的纵坐标差的符号，正值表示位移沿正方向；负值表示位移沿负方向

斜率的绝对值

斜率的符号，斜率为正值，表示物体向正方向运动；斜率为负值，表示物体向负方向运动

图线起点纵坐标

图线起点横坐标

起始位置

运动开

始时刻

两图线交

点含义

表示两物体在同一位置(相遇)

如图1-6-4是A、B两个质点做直线运动的位移—时间图像．则(

) 【导学号：96332021】

图1-6-4 A．在运动过程中，A质点总比B质点运动得快

B．在0～t1这段时间内，两质点的位移相同

C．当t＝t1时，两质点的速度相等

D．当t＝t1时，A、B两质点的加速度不相等

【解析】

位移—时间图像中，图线的斜率对应物体的速度，所以A质点的速度比B质点的速度值大，A正确；位移—时间图像中，位移等于初、末时刻对应的纵坐标的坐标差，所以在0～t1这段时间内，A质点的位移大于B质点的位移，B错误；t1时刻，两图像的斜率不同，两质点的速度不同，C错误；两物体都做匀速直线运动，加速度都等于零，D错误．

【答案】

A

[迁移3]

(多选)如图1-6-5描述了一位骑自行车者从原点出发后的运动情况，下列说法正确的是(

)

【导学号：96332022】

图1-6-5 A．此人达到最大速度时位于区间Ⅰ

B．此人达到最大速度时位于区间Ⅱ

C．此人距离出发点最远时位于C点

D．此人距离出发点最远时位于B点

【解析】

由位移—时间图线知，在区间Ⅱ内，图线的斜率最大，则速度最大．故A错误，B正确．由图像直接得出，人距离出发点最远时处于B点，故D正确，C错误．

【答案】

BD [迁移4]

如图1-6-6所示，甲、乙、丙、丁是以时间为横轴的匀变速直线运动的图像，下列说法正确的是(

)

甲

乙

丙

丁

图1-6-6 A．甲是a-t图像

C．丙是x-t图像

B．乙是x-t图像

D．丁是v-t图像

【解析】

匀变速直线运动是加速度恒定、速度随时间均匀变化的运动，故a-t图像是一条平行于t轴的直线，v-t图像是一条倾斜的直线，A、D错误；由1位移公式x＝v0t＋2at 2可知位移与时间为二次函数关系，其图像为抛物线，故B错误，C正确．

【答案】

C

v-t和x-t图像的应用技巧

1．确认是哪种图像，v-t图像还是x-t图像．

2．理解并熟记五个对应关系．

(1)斜率与加速度或速度对应．

(2)纵截距与初速度或初始位置对应．

(3)横截距对应速度或位移为零的时刻．

(4)交点对应速度或位置相同．

(5)拐点对应运动状态发生改变．