*5 一元二次方程的根与系数的关系课堂实录【2】

《§5.5一元二次方程根与系数的关系》教学设计

教学目标：

1、知识目标：进一步理解一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系. 2、能力目标：能运用根与系的关系解决相关数学问题,并进一步提高分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力. 3、情感目标：感受由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律.进一步提高发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力. 教学重点：根与系数的关系概念及推导. 教学难点：根与系数的关系概念及应用. 教学过程：

一、回顾旧知，引入新课

1.一元二次方程的一般形式：

2.一元二次方程的解法：

3.求根公式：

二、问题情境，探究新知：

解下列方程，并填写表格：

方

程

x1

x2

x1+x2

x1x2

x25x60

x27x120

x22x150

观察上面的表格，思考：

（1）关于x的方程x2pxq0(p、q为常数，p24q0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？

（2）根据上述发现，关于x的方程axbxc0(a0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

三、讲授新知：

1、根与系数关系：

（1）关于x的方程xpxq0(p、q为常数，p4q0)的两根为x1，x2与系数p，q的关系是：

222x1x2p，

x1x2q

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引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式，并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？

（2）形如ax2bxc0(a0)的方程，如果b4ac0，两根为x1，x2，引导学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系. 然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程ax2bxc0(a0)

∵a0

2bcx0

aabc

则x1x2，x1x2

aa

∴x2对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。

证明：∵ax2bxc0(a0)，当b4ac0时根为：

2bb24ac

x2abb24acbb24ac设x1，x2，则

2a2abb24acbb24ac2bb∴x1x2

2a2a2aabb24acbb24acb2(b24ac)4acc

x1x22

2a2aa4a24a此方法同样适用于系数为1的一元二次方程根与系数的关系证明. 学生思考、归纳并回答下列问题：

（1）一元二次方程根与系数有怎样的关系？这个关系有什么作用？

（2）运用根与系数的关系要注意些什么？

四．应用巩固

例1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：

（1）x3x10

（2）x3x50

（3）xx10

例2.设x1,x2是一元二次方程2x24x3的根，求解下列各式：

（1）x1x2x1x2

（2）x12x22

（3）(x1x2)2

（4）222211

x1x2例3.已知关于x的方程2xkx90的一个根是－3，求另一根及k的值。

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先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示：

解法一：解法二：

2设方程的另一个根为x1,由根与系数的关系可知：

∵方程2xkx90的一个根为3

∴　k92(3)2k(3)903x1＝，（3）x1＝

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∴k3，把k3代入原方程得：3

　　2x23x90∴x1＝，k＝3

2

解之得：x＝3，x＝312

2

32

2练习：已知关于x的方程xmx2m0的一个根是1，求另一根及m的值。

∴k3，方程的另一个根为解法一：∵方程x2mx2m0的一个根为1∴　12m2m0∴m1，把m1代入原方程得：　　x2x20解法二：设方程的另一个根为x1,由根与系数的关系可知：1+x1＝m1x1＝2m解得：x1＝-2，m＝-1m＝-1,方程的另一个根为-2

解之得：x＝-2，x＝121

∴m1，方程的另一个根为2从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？

例4.若x1,x2是关于x的方程x2(m3)x(m1)0的两个根，且x12x224，求m的值. 0解：由题：22

x1x24

又由根与系数的关系：x1x2=(m3),x1x2m1

x1x2(x1x2)2x1x22(m3)4(m1)02

(m3)2(m1)42

解(m3)2(m1)4得：

m11,m23222

2当m1或3时，(m3)4(m1)0

m1或m=3变式：若x1,x2是关于x的方程x22(m2)x2m210的两个根，且x12x220，求m的值. 思考题：菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于点O，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2(2m1)xm230的根，求m的值. 五、归纳小结：

1、这节课我们学习了什么知识？有何作用？

2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？

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六、课后作业：

1.若方程x4x1的两个根为x1，x2，则x1，x2的值是

. 2.已知a，b是方程xx20090的两个实数根，则a2ab的值为

. 222＝0的两根为x1，x2，则3.若方程2x3x12211的值为 . x1x2224.关于x的一元二次方程xmx2m10的两个实数根分别是x1、x2，且x1x27，求(x1x2)2的值. 5.已知方程x2kx90的两根互为相反数，求k的值. 6.已知关于x的方程x3xm0的一个根是另一个根的2倍，求m的值. 7.关于x的方程x2(2k1)xk220两实数根的平方和等于11，求k的值.

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