用公式法求解一元二次方程公开课教案

３．公式法求解一元二次方程

一、学习目标

1.在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

2.能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力. 3.通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

4.通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力

二、教学过程

本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：公式的推导；第三环节：看一看、练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。

第一环节；回忆巩固

活动内容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找两位同学上黑板演算

②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2 x27x30 22 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 x27x(7)24930

24162即: (x7)2250

416

1

725

(x)2416两边开平方取“±” 得： x75

4475

442x

写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=1

第二题： 3x2+2x+1=0 解：两边都除以一次项系数:3 x22x10 33 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 x22x(1)2130

3392即: (x1)2250

318125

(x)2318∵250

18∴原方程无解

活动目的：

（1）进一步夯实用配方法解方程的一班步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。

（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习. 活动的实际效果：

通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。

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第二环节 公式的推导

活动内容：

提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式. 解：两边都除以一次项系数:a x2bxc0 问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a≠0

配方:加上再减去一次项系数一半的平方 x2bb2b2c

ax(2a)4a2a0即: 问：现在可以两边开平方吗？

答：不可以，因为不能保证 b24ac4a20

问：什么情况下

b24ac4a20

学生讨论后回答：

答：

∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b24ac4a20

只要 b2-4ac≥0即可

∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得：

aa(xb2b24aca)4a20(xb2b24ac

a)4a2xb2b4ac

a4a2bb2x4aca2a2xbb4ac

a2a3

bb24ac

x2a问：如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？

答：方程无解

活动目的：

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。

活动的实际效果：

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：

（1）中b2c运算的符号出现错误和通分出现错误

bb2b2cxx()204a2aa2a4aa2（2）不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方

（3）两边开平方，忽略取“±”。

大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。

第三环节：练一练，巩固新知

活动内容：

１、判断下列方程是否有解：（学生口答）

(1) 2x2+3=7x

（2）x2-7x=18

（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0 (5)16x2+8x=3 (6) 2x2-9x+8=0 学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断是否有根

问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，那种方法更简捷？

２、上述方程如果有解，求出方程的解

学生口述，教师板书第（1）题

例：解方程 2x2+3=7x 先将方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 确定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判断方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×

4

3=25>0 ∴bb4acx2a725752242

写出方程的根 即x1=3,x2=-1

2问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？

（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）

３、课本随堂练习2. 一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。

活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。

活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结．大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。 出现的问题

1、

对于（1）（2）（5）小题，有个别学生因为没有化成一般形式，从而把a,b,c的符号弄错了；

2 、学生比较容易得出当a,c异号时，方程一定有解。

第四环节：收获与感悟

活动内容： 提出问题：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、用公式法解方程应注意的问题是什么？

3、你在解方程的过程中有哪些小技巧？

让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。

活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发

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展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。

第五环节：布置作业

用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用）

（1） 2x2-4x-1=0 （2） 5x+2=3x2

（3） (x-2)(3x-5)=0 （4） 2x2+7x=4 （5） x2-22x+2=0 列方程解应用题

1、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少? ２、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽

３、某商场销售一批衬衫,平均每天可以售出20件,没见盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,如果每件降价1元,商场每天可以多销售2件, （１）若商场平均每天要盈利１２００元，每件衬衫要降价多少元？

（２）选作题（供学有余力的学生选作）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

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