菱形的判定教学内容概述

九年级数学

第一章

第一章

特殊的平行四边形 1.1 菱形的性质与判定（一）

般平行四边形的所有性质。你能列举一些这

1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；

2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；

3．体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。

1．平行四边形的定义：

2．平行四边形的性质：

边：

角：

对角线：

3．平行四边形的判定：

边：

角：

对角线：

1,请同学们观察，课本彩图中的平行四边形与

ABCD相比较，有不同点吗？

____________________的平行四边形叫做菱形

2.菱形是特殊的平行四边形，它具有一样的性质吗？

3.你认为菱形还具有哪些特殊的性质？(从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。)

4.请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？

（2）菱形中有哪些相等的线段？

5.

证明菱形性质

如何运用公理和已有的定理证明菱形的有关性质？（证明过程中注意菱形的定义既是性质又是判定，可直接应用）

BAOCD图1-1

已知：如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.

例1 如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。

BAOCD

随堂练习

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD的长. BAOCD

1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。

3、菱形具有平行四边形的所有性质，应用菱形的性质可以进行计算和推理。

1．已知菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线之比为3:4，求菱形的面积

1 .从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）

A.150 B. 135 C. 120 D.100

2．在菱形ABCDAEBC,AFCD,

且E、F分别是BC、CD的中点，

那EAF（ ）

A、750 B、550 C、450 D、600

3．菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为_________，面积为_________. 4．菱形ABCD中，AB=4，高DE垂直平分边AB，则BD=_________，AC=_________. 5．菱形两邻角的度数之比为1∶3，高为72，则边长=_________，面积=_________. 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD

相交于点O，OEAB，垂足为E，若ADC=130，则AOE的大小为（

）

A．75°

B．65°

C．55°

D．50°

7．（Ｂ）菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠BAD＝120º，AC＝4，则它的面积是（

）

A．163

B．16

C．83

D．8 8．（Ｂ）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=

1.1 菱形的性质与判定（二）

探究活动一：制作菱形

（1）

在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形；

（2）

想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形. （3）利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法.

探究活动二：菱形的判定方法

（1）菱形的定义：邻边相等的平行四边形是菱形. 1理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高能力。

3．通过“实验—猜想—证明—应用“的数学活动提升科学素养. 除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形?平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,你猜想: （2）_________________________________是菱形

（3）_________________________________是菱形

1.菱形的定义? 2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,则只需补充 就可以判定它是一个菱形. 3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为 cm. 4,证明：对角线垂直的平行四边形是菱形

已知:如图1-3,

求证:

证明：

议一议：已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗? A

C

证明：四条边相等的四边形是菱形

已知:如图1-5,

求证:

证明：

做一做：你能用折纸等办法得到一个菱形吗?动手试一试，在下面画出图形，并说明这样做的道理.

例2 已知：如图1-6，在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB=5 ,OA=2，OB=1. 求证:

四边形AECF是菱形

思考菱形的判定与菱形的性质之间的关系

1.本节课重点学习了什么知识,应用了哪些数学方法？

2.判定一个四边形是菱形有哪些方法?

3.通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？

1.

画一个菱形,使它的两条对角线长分别是4cm、6cm.

1.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F. 求证:

四边形AECF是菱形

AEDOBFC

2.如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连接BF、CE，求证：四边形BECF是菱形.

1.1 菱形的性质与判定（三）

件使其成为菱形：

添加方式1： . 1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。

添加方式2： . 2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。

同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗？

ABEABECDDC图1 图2

1.如图1所示：在菱形ABCD中，AB=6，请回答下列问题：

(1)其余三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？

(2)对角线AC与BD有什么位置关系？

(3)若∠ADC=120°，求AC的长。

2. 如图2所示：在□ABCD中添加一个条

例3 如图3，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.通过条件你能获得哪些结论？

求：(1)对角线AC的长度；

(2)菱形ABCD的面积. AEDBC图3

变式训练：1如上图3，四边形ABCD是ABED

菱形，其中对角线BD长为12cm，AC长为16cm.求：

(1)菱形的边长；

(2)求菱形一条边上的高。

2：已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是 cm2.

1.如图4，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？

图4

2.如图5,你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？

ABC图5

1.通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？

2.请从以下三个方面进行总结：

知识收获、方法收获、关注问题。

D

CF1.如图6所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则

∠ABC= °，AC= cm. AABEDBODCC图6 图7

2.如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是

cm2．

DFCGHAEB图8

3.已知，如图8，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（ ）

A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形

1. 已知：如图9，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF，

求证：(1)△ADE≌CDF； (2)

∠DEF=∠DFE.

AEB图9

2：已知：如图10，在Rt△ABC=90°，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形. BDEFC图10 A

3，如图，在四边形ABCD中，AD∥BC E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．