4　概率波名师课堂实录

3.1.3 粒子的波动性

3.1.4 概率波

3.1.5 不确定性关系

学习目标

核心提炼

1.知道光具有波粒二象性，区分光的波动性和粒子性。

2.知道实物粒子和光子一样具有波粒二象性。

3.掌握λ＝的含义及应用。

4.了解经典粒子和波的模型及概率波的内容。

5.初步了解不确定性关系的内容。

4个概念——光的波粒二象性

粒子的波动性

物质波

不确定关系

hp

一、光的波粒二象性

1.19世纪初托马斯·杨、菲涅耳、马吕斯等分别观察到了光的干涉、衍射和偏振现象。

2.19世纪60年代和80年代，麦克斯韦和赫兹先后从理论上和实验上确认了光的电磁波本质。

3.光电效应和康普顿效应揭示了光的粒子性。

4.5.光子的能量和动量

(1)能量：ε＝hν。

(2)动量：p＝。

λ

h6.意义：能量ε和动量p是描述物质的粒子性的重要物理量；波长λ和频率ν是描述物质的波动性的典型物理量。因此ε＝hν和p＝揭示了光的粒子性和波动性之间的密切关λ系。

1 h

思考判断

(1)光的干涉、衍射、偏振现象说明光具有波动性。(

) (2)光子数量越大，其粒子性越明显。(

) (3)光具有粒子性，但光子又不同于宏观观念的粒子。(

) 答案

(1)√

(2)×

(3)√

二、粒子的波动性及实验验证

1.粒子的波动性

(1)德布罗意波：每一个运动的粒子都与一个对应的波相联系，这种与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，也叫物质波。

(2)物质波的波长：λ＝。

ε(3)物质波的频率：ν＝。

hph2.物质波的实验验证

(1)实验探究思路：干涉、衍射是波特有的现象，如果实物粒子具有波动性，则在一定条件下，也应该发生干涉或衍射现象。

(2)实验验证：1927年戴维孙和汤姆孙分别利用晶体做了电子束衍射的实验，得到了电子的衍射图样，证实了电子的波动性。

(3)说明：人们陆续证实了质子、中子以及原子、分子的波动性，对于这些粒子，德布罗意εh给出的ν＝和λ＝关系同样正确。

hp思考判断

(1)一切宏观物体的运动都伴随一种波，即物质波。(

) (2)湖面上的水波就是物质波。(

) (3)电子的衍射现象证实了实物粒子具有波动性。(

) 答案

(1)√

(2)×

(3)√

三、经典的粒子和经典的波

1.经典粒子

(1)含义：粒子有一定的空间大小，具有一定的质量，有的还带有电荷。

(2)运动的基本特征：遵从牛顿运动定律，任意时刻有确定的位置和速度，在时空中有确定的轨道。

2.经典的波

(1)含义：在空间是弥散开来的。

(2)特征：具有频率和波长，即具有时空的周期性。

思考判断

2

(1)经典的粒子的运动适用牛顿第二定律。(

) (2)经典的波在空间传播具有周期性。(

) (3)经典的粒子和经典的波研究对象相同。(

) 答案

(1)√

(2)√

(3)×

四、概率波

1.光波是一种概率波：光的波动性不是光子之间的相互作用引起的，而是光子自身固有的性质，光子在空间出现的概率可以通过波动的规律确定，所以，光波是一种概率波。

2.物质波也是概率波：对于电子和其他微观粒子，单个粒子的位置是不确定的，但在某点附近出现的概率的大小可以由波动的规律确定。对于大量粒子，这种概率分布导致确定的宏观结果，所以物质波也是概率波。

思考判断

(1)光子通过狭缝后落在屏上的位置是可以确定的。(

) (2)光子通过狭缝后落在屏上明纹处的概率大些。(

) (3)电子通过狭缝后运动的轨迹是确定的。(

) 答案

(1)×

(2)√

(3)×

五、不确定性关系

1.定义：在经典物理学中，一个质点的位置和动量是可以同时测定的；在微观物理学中，要同时测出微观粒子的位置和动量是不太可能的，这种关系叫不确定性关系。

2.表达式：ΔxΔp≥h4π。其中用Δx表示粒子位置的不确定量，用Δp表示在x方向上动量的不确定量，h是普朗克常量。

思维拓展

对微观粒子的运动分析能不能用“轨迹”来描述？

答案

微观粒子的运动遵循不确定关系，也就是说，要准确确定粒子的位置，动量(或速度)的不确定量就更大；反之，要准确确定粒子的动量(或速度)，位置的不确定量就更大，也就是说不可能同时准确地知道粒子的位置和动量。因而不可能用“轨迹”来描述粒子的运动。

光的波粒二象性的理解

[要点归纳] 1.大量光子产生的效果显示出波动性；个别光子产生的效果显示出粒子性。

2.光子和电子、质子等实物粒子一样，具有能量和动量。和其他物质相互作用时，粒子性起主导作用；在光的传播过程中，光子在空间各点出现的可能性的大小(概率)，由波动性起主导作用，因此称光波为概率波。

3.频率低、波长长的光，波动性特征显著，而频率高、波长短的光，粒子性特征显著。

3

4.光子的能量与其对应的频率成正比，而频率是描述波动性特征的物理量，因此ε＝hν揭示了光的粒子性和波动性之间的密切联系。

[精典示例] [例1] 下列有关光的波粒二象性的说法中，正确的是(

) A.有的光是波，有的光是粒子

B.光子与电子是同样的一种粒子

C.光的波长越长，其波动性越显著；波长越短，其粒子性越显著

D.大量光子的行为往往显示出粒子性

审题指导

(1)在宏观现象中，波与粒子是对立的概念，而在微观世界中，波与粒子可以统一。

(2)光具有波粒二象性是指光在传播过程中和其他物质作用时分别表现出波和粒子的特性。

解析

一切光都具有波粒二象性，光的有些行为(如干涉、衍射)表现出波动性，有些行为(如光电效应)表现出粒子性，所以，不能说有的光是波，有的光是粒子。虽然光子与电子都是微观粒子，都具有波粒二象性，但电子是实物粒子，有静止质量，光子不是实物粒子，没有静止质量，电子是以实物形式存在的物质，光子是以场形式存在的物质，所以，不能说光子与电子是同样的一种粒子。光的波粒二象性的理论和实验表明，大量光子的行为表现出波动性，个别光子的行为表现出粒子性。光的波长越长，衍射性越好，即波动性越显著，光的波长越短，其光子能量越大，个别或少数光子的作用就足以引起光接收装置的反应，所以其粒子性就很显著，故选项C正确，A、B、D错误。

答案

C [针对训练1] (多选)人类对光的本性的认识经历了曲折的过程。下列关于光的本性的陈述符合科学规律或历史事实的是(

) A.牛顿的“微粒说”与爱因斯坦的“光子说”本质上是一样的

B.光的双缝干涉实验显示了光具有波动性

C.麦克斯韦预言了光是一种电磁波

D.光具有波粒二象性

解析

牛顿的“微粒说”认为光是一种物质微粒，爱因斯坦的“光子说”认为光是一份一份不连续的能量，显然选项A错误；干涉、衍射是波的特性，光能发生干涉说明光具有波动性，选项B正确；麦克斯韦根据光的传播不需要介质以及电磁波在真空中的传播速度与光速近似相等，从而认为光是一种电磁波，后来赫兹用实验证实了光的电磁说，选项C正确；光具有波动性与粒子性，称为光的波粒二象性，选项D正确。

答案

BCD

对物质波的理解

[要点归纳]

4

1.任何物体，小到电子、质子，大到行星、太阳都存在波动性，我们之所以观察不到宏观物体的波动性，是因为宏观物体对应的波长太小。

2.物质波是一种概率波，粒子在空间各处出现的概率受波动规律支配，不能以宏观观点中的波来理解德布罗意波。

3.德布罗意假说是光子的波粒二象性的一种推广，使之包括了所有的物质粒子，即光子与实物粒子都具有粒子性，又都具有波动性，与光子对应的波是电磁波，与实物粒子对应的波是物质波。

[精典示例] [例2] 任何一个运动着的物体，小到电子、质子，大到行星、太阳，都有一种波与之对应，波长是λ＝，式中p是运动物体的动量，h是普朗克常量，人们把这种波叫作德布罗意波。现有一个德布罗意波长为λ1的物体1和一个德布罗意波长为λ2的物体2，二者相向碰撞后粘在一起，已知|p1|<|p2|，则粘在一起的物体的德布罗意波长为多少？

审题指导

解答本题应注意以下两点：

(1)物体1和物体2碰撞过程满足动量守恒。

(2)德布罗意波长λ与物体的动量p、普朗克常量h之间的关系是λ＝。

hphphhhhλ1λ2解析

由动量守恒定律p2－p1＝(m1＋m2)v及p＝，得－＝，所以λ＝。

λλ2λ1λλ1－λ2答案

λ1λ2

λ1－λ2[针对训练2] (多选)频率为ν的光子，德布罗意波长为λ＝，能量为E，则光的速度为(

) A.hpEλ hB.pE EC. phph2D.

EpEλE或。

hp解析

根据c＝λν，E＝hν，λ＝，即可解得光的速度为答案

AC

对概率波的理解

[要点归纳] 1.单个粒子运动的偶然性：我们可以知道粒子落在某点的概率，但不能预言粒子落在什么位置，即粒子到达什么位置是随机的，是预先不能确定的。

2.大量粒子运动的必然性：由波动规律我们可以准确地知道大量粒子运动时的统计规律，因

5

此我们可以对宏观现象进行预言。

3.概率波体现了波粒二象性的和谐统一：概率波的主体是光子、实物粒子，体现了粒子性的一面；同时粒子在某一位置出现的概率受波动规律支配，体现了波动性的一面，所以说概率波将波动性和粒子性统一在一起。

[精典示例] [例3] 关于电子的运动规律，以下说法正确的是(

) A.电子如果不表现波动性，则无法用轨迹来描述它们的运动，其规律遵循牛顿定律

B.电子如果不表现波动性，则可以用轨迹来描述它们的运动，其规律遵循波动规律

C.电子如果表现波动性，则无法用轨迹来描述它们的运动，空间分布的概率遵循波动规律

D.电子如果表现波动性，则可以用轨迹来描述它们的运动，其规律遵循牛顿定律

审题指导

(1)电子无论是表现出波动性还是表现出粒子性，都与经典的波和经典的粒子不同，没有确定的轨迹，不遵循牛顿运动定律。

(2)只能确定电子在某点附近出现的概率，且概率的空间分布情况遵循波动规律。

解析

电子的运动属于概率波，少量电子表现出粒子性，不遵循牛顿运动定律，无法用轨迹描述其运动，选项A、B错误；大量电子表现出波动性，无法用轨迹描述其运动，可确定电子在某点附近出现的概率，且概率波遵循波动规律，选项C正确，D错误。

答案

C [针对训练3] (多选)在单缝衍射实验中，中央亮纹的光强占从单缝射入的整个光强的95%以上，假设现在只让一个光子能通过单缝，那么该光子(

) A.一定落在中央亮纹处

C.可能落在暗纹处

B.一定落在亮纹处

D.落在中央亮纹处的可能性最大

解析

根据光波是概率波的概念，对于一个光子通过单缝落在何处，是不可确定的，但概率最大的是落在中央亮纹处，可达95%以上，当然也可落在其他亮纹处，还可能落在暗纹处，不过，落在暗纹处的概率很小，故只有选项C、D正确。

答案

CD

对不确定性关系的理解

[要点归纳] 1.单缝衍射现象中，粒子在挡板左侧的位置是完全不确定的，即通过挡板前粒子的位置具有不确定性。

2.单缝衍射现象中，粒子通过狭缝后，在垂直原来运动方向的动量是不确定的，即通过挡板后粒子的动量具有不确定性。

3.微观粒子运动的位置不确定量Δx和动量的不确定量Δp的关系式ΔxΔp≥是普朗克常量，这个关系式叫不确定性关系。

6 h4π，其中h

4.不确定性关系告诉我们，如果要更准确地确定粒子的位置(即Δx更小)，那么动量的测量一定会更不准确(即Δp更大)，也就是说，不可能同时准确地知道粒子的位置和动量，也不可能用“轨迹”来描述粒子的运动。

[精典示例] [例4] (多选)关于不确定性关系ΔxΔp≥有以下几种理解，正确的是(

) 4πA.微观粒子的动量不可能确定

B.微观粒子的坐标不可能确定

C.微观粒子的动量和坐标不可能同时确定

D.不确定性关系不仅适用于电子和光子等微观粒子，也适用于其他宏观粒子

审题指导

(1)不确定性关系表达式为ΔxΔp≥hh4π。

(2)不确定性关系是自然界的普遍规律，对微观世界的影响显著，对宏观世界的影响可忽略。

解析

不确定性关系ΔxΔp≥表示确定位置、动量的精度互相制约，此长彼消。当粒子4π位置不确定性变小时，粒子动量的不确定性变大；粒子位置不确定性变大时，粒子动量的不确定性变小。故不能同时准确确定粒子的动量和坐标，不确定性关系也适用于其他宏观粒子，不过这些不确定量微乎其微，故选项C、D正确。

答案

CD [针对训练4] (多选)根据不确定性关系ΔxΔp≥，判断下列说法正确的是(

) 4πA.采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度下降

B.采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度上升

C.Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备有关

D.Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备无关

解析

不确定性关系表明，无论采用什么方法试图确定位置坐标和相应动量中的一个，必然引起另一个较大的不确定性，这样的结果与测量仪器及测量方法是否完备无关，无论怎样改善测量仪器和测量方法，都不可能逾越不确定性关系所给出的限度。故选项A、D正确。

答案

AD

1.关于光的波粒二象性，下列说法中不正确的是(

) A.波粒二象性指光有时表现为波动性，有时表现为粒子性

B.光波频率越高，粒子性越明显

C.能量较大的光子其波动性越显著

D.个别光子易表现出粒子性，大量光子易表现出显示波动性

7 hh

解析

光的波粒二象性是指光波同时具有波和粒子的双重性质，但有时表现为波动性，有时表现为粒子性，选项A正确；在光的波粒二象性中，频率越大的光，光子的能量越大，粒子性越显著，频率越小的光其波动性越显著，选项B正确，C错误；光既具有粒子性，又具有波动性，大量的光子波动性比较明显，个别光子粒子性比较明显，选项D正确。

答案

C 2.下列关于德布罗意波的认识，正确的解释是(

) A.任何一个物体都有波和它对应，这就是物质波

B.X光的衍射证实了物质波的假设是正确的

C.电子衍射证实了物质波的假设是正确的

D.宏观物体运动时，看不到它的衍射或干涉现象，所以宏观物体不具有波动性

解析

运动的物体才具有波动性，选项A错误；宏观物体由于动量太大，德布罗意波长太小，所以看不到它的干涉、衍射现象，但仍具有波动性，选项D错误；X光是波长极短的电磁波，是光子，它的衍射不能证实物质波的存在，选项B错误。

答案

C 3.一颗质量为10 g的子弹，以200 m/s的速度运动着，则由德布罗意理论计算，要使这颗子弹发生明显的衍射现象，那么障碍物的尺寸为(

) A.3.0×10C.3.0×10－10 m m B.1.8×10－11 m －34D.无法确定

－34hh6.63×10－34解析

λ＝＝＝

m≈3.32×10

m，故能发生明显衍射的障碍物尺寸应为－3pmv10×10×200选项C。

答案

C 4.下列说法正确的是(

) A.概率波就是机械波

B.物质波是一种概率波

C.概率波和机械波的本质是一样的，都能发生干涉和衍射现象

D.在光的双缝干涉实验中，若有一个光子，则能确定这个光子落在哪个点上

解析

概率波与机械波是两个概念，本质不同，选项A、C错误；物质波是一种概率波，符合概率波的特点；在光的双缝干涉实验中，若有一个光子，则不能确定这个光子落在哪个点上，选项D错误。故选项B正确。

答案

B

8

1.(多选)说明光具有粒子性的现象是(

) A.光电效应 C.光的衍射 答案

AD 2.(多选)关于光的波粒二象性，下列说法正确的是(

) A.光的双缝干涉实验显示了光具有波动性

B.光电效应现象说明光具有粒子性

C.频率高的光只具有粒子性，不具有波动性

D.无线电波只具有波动性，不具有粒子性

解析

光电效应、康普顿效应能说明光具有粒子性；光的干涉、衍射现象能说明光具有波动性；频率高的光粒子性明显，但也具有波动性；无线电波是电磁波，既具有波动性也具有粒子性。

答案

AB 3.(多选)在验证光的波粒二象性的实验中，下列说法正确的是(

) A.使光子一个一个地通过单缝，如果时间足够长，底片上会出现衍射图样

B.单个光子通过单缝后，底片上会出现完整的衍射图样

C.光子通过单缝的运动路线像水波一样起伏

D.单个光子通过单缝后打在底片上的情况呈现出随机性，大量光子通过单缝后打在底片上的情况呈现出规律性

答案

AD 4.如图1所示，当弧光灯发出的光经一狭缝后，在锌板上形成明暗相间的条纹，同时与锌板相连的验电器铝箔有张角，则该实验(

) B.光的干涉

D.康普顿效应

9

图1 A.只能证明光具有波动性

C.只能证明光能够发生衍射

B.只能证明光具有粒子性

D.证明光具有波粒二象性

解析

弧光灯发出的光经一狭缝后，在锌板上形成明暗相间的条纹，这是光的衍射，证明了光具有波动性，验电器铝箔有张角，说明锌板发生了光电效应现象，则证明光具有粒子性，所以该实验证明了光具有波粒二象性，选项D正确。

答案

D 5.下列说法正确的是(

) A.质量大的物体，其德布罗意波长短

B.速度大的物体，其德布罗意波长短

C.动量大的物体，其德布罗意波长短

D.动能大的物体，其德布罗意波长短

解析

由物质波的波长λ＝，得其只与物体的动量有关，动量越大其波长越短。

答案

C 6.(多选)下列物理实验中，能说明粒子具有波动性的是(

) A.通过研究金属的遏止电压与入射光频率的关系，证明了爱因斯坦光电效应方程的正确性

B.通过测试多种物质对X射线的散射，发现散射射线中有波长变大的成分

C.通过电子双缝实验，发现电子的干涉现象

D.利用晶体做电子束衍射实验，证实了电子的波动性

解析

干涉和衍射是波特有的现象，由于X射线本身就是一种波，而不是实物粒子，故X射线散射中有波长变大的成分，并不能证实物质波理论的正确性，即选项A、B不能说明粒子的波动性。

答案

CD 7.(多选)下表列出了几种不同物体在某种速度下的德布罗意波长和频率为1 MHz的无线电波的波长，根据表中数据可知(

) hp

弹子球

电子(100 eV)

无线电波(1 MHz)

质量/kg

2.0×10

9.1×10－31－2速度/m·s

1.0×10

5.0×10

3.0×10

86－2－1波长/m 3.3×101.2×10－30

－10

3.0×10

2A.要检测弹子球的波动性几乎不可能

10

B.无线电波通常只能表现出波动性

C.电子照射到金属晶体上能观察到它的波动性

D.只有可见光才有波粒二象性

解析

弹子球的波长相对太小，所以检测其波动性几乎不可能，选项A正确；无线电波波长较长，所以通常表现为波动性，选项B正确；电子波长与金属晶体尺度差不多，所以能利用金属晶体观察电子的波动性，选项C正确；由物质波理论知选项D错误。

答案

ABC 8.(多选)利用金属晶格(大小约10－10 m)作为障碍物观察电子的衍射图样，方法是使电子通过电场加速后，让电子束照射到金属晶格上，从而得到电子的衍射图样.已知电子质量为m，电荷量为e，初速度为0，加速电压为U，普朗克常量为h，则下列说法正确的是(

) A.该实验说明了电子具有波动性

B.实验中电子束的德布罗意波长为λ＝h

2meUC.加速电压U越大，电子的衍射现象越明显

D.若用相同动能的质子替代电子，衍射现象将更加明显

解析

得到了电子的衍射图样，说明电子具有波动性，选项A正确；

由德布罗意波长公式得λ＝

而动量p＝2mEk＝2meU

两式联立得λ＝由λ＝hph，选项B正确；

2meUh可知，加速电压越大，电子的波长越小，衍射现象越不明显，选项C错误；用2meU相同动能的质子替代电子，质子的波长小，其衍射现象不如电子的衍射现象明显，故选项D错误。

答案

AB 9.(多选)下列各种波是概率波的是(

) A.声波 C.光波 B.无线电波 D.物质波

解析

声波是机械波，选项A错误；电磁波是一种能量波，选项B错误；由概率波的概念和光波以及物质波的特点分析可以得知光波和物质波均为概率波，故选项C、D正确。

答案

CD 10.(多选)以下说法正确的是(

) A.光波和物质波都是概率波

B.实物粒子不具有波动性

11

C.光的波动性是光子之间相互作用引起的

D.光通过狭缝后在屏上形成明暗相间的条纹，光子在空间出现的概率可以通过波动规律确定

解析

光波和物质波都是概率波，可通过波动规律来确定，故选项A、D正确，B错误；光的波动性是光的属性，不是光子间相互作用引起的，选项C错误。

答案

AD 11.(多选)1927年戴维逊和革末完成了电子衍射实验，该实验是荣获诺贝尔奖的重大近代物理实验之一。如图2所示的是该实验装置的简化图。下列说法正确的是(

)

图2 A.亮条纹是电子到达概率大的地方

B.该实验说明物质波理论是正确的

C.该实验说明了光子具有波动性

D.该实验说明实物粒子具有波动性

解析

该实验说明物质波理论是正确的，实物粒子也具有波动性，亮条纹是电子到达概率大的地方，不能说明光子具有波动性，故选项A、B、D正确，C错误。

答案

ABD 12.如图3所示为证实电子波存在的实验装置，从F上漂出来的热电子可认为初速度为零，所加的加速电压U＝10 V，电子质量为m＝9.1×104－31 kg。电子被加速后通过小孔K1和K2后入射到薄的金箔上，发生衍射现象，结果在照相底片上形成同心圆明暗条纹。试计算电子的德布罗意波长。

图3 12h解析

将eU＝Ek＝mv，p＝2mEk，λ＝

2p联立，得λ＝h，

2meU－11代入数据可得λ≈1.23×10答案

1.23×10－11 m。

m

12