2.3.2 抛物线的参数方程教学设计案例

中绳墨乃成直线，有规矩才定方圆

2016级高二年级数学学科学案

学案类型：新授课

材料序号：

13

编稿教师：

滕苑

审稿教师：金莹

选修4-4

第四讲

圆锥曲线的参数方程

一、学习目标

（1）掌握圆锥曲线的参数方程，会用参数方程求解一些最值问题．

（2）掌握椭圆参数方程，理解椭圆参数方程中的几何意义．

（3）了解抛物线和双曲线的参数方程，了解抛物线参数方程中参数的几何意义．

二、知识解析

（一）椭圆的参数方程

b(ab0)为半径分别作两个同心圆．设A为大圆上的任一点，连如图所示，以原点O为圆心，a，接OA，与小圆交于点B．过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M．

设以Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是(x，y)．那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y．由于点A，B均在角的终边上，由三角函数的定义有：

y

x|OA|cosacos，y|OB|sinbsin．

A

当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是

xacos，M

B

(为参数）



ybsin，这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆. 2)．

在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围为[0，（二）双曲线的参数方程

b(a0，b0)为半径分别作同心圆

如图所示，以原点O为圆心，a，C1，C2．设A为圆C1上任一点，作直线OA，过点A作圆C1的切线AA与x轴交于点A，过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB与直线OA交于点B．过点A，B分别作y轴，x轴的平行线AM，BM交于点M．

设Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是(x，y)．那0)，点B的坐标为(b，y)．

么点A的坐标为(x，

因为点A在圆C1上，由圆的参数方程得点A的坐标为

(acos，asin)，所以

O

x

yB'A'MxOA(acos，asin)，AA(xacos，asin)．

因为OAAA，所以OAAA0，从而

acos(xacos)(asin)20

a1sec，则xasec．

解得x．记coscos因为点B在角的终边上，由三角函数的定义有tanAφOBy，即ybtan．

bxasec，(为参数）所以，点M的轨迹的参数方程为．

ybtan，x2y2由sectan1消去参数后得到点M的轨迹的普通方程221．

ab32)，且，在双曲线的参数方程中，通常规定参数的范围为[0，．

2222

（三）抛物线的参数方程

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中绳墨乃成直线，有规矩才定方圆

如图所示，设抛物线的普通方程为y22px，其中p表示焦点到准线的距离．

设M(x，y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作．

显然，当在(，)内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有22唯一的点M与之对应．因此，可以取为参数来探求抛物线的参数方程．

y

由于点M在的终边上，根据三角函数定义可得tan．可得

yx2pM（x , y）x，2tanα(为参数）

2pxOy，tan

这就是抛物线的参数方程．

x2pt2，1

如果令t．

(t为参数），t(，0)(0，)，则得：tany2pt，)时，参数方程就表示整0)．因此，当t(，

当t0时，方程表示的点正好是抛物线的顶点(0，条抛物线．

三、例题分析

类型一

椭圆的参数方程

x2y2例1 在椭圆1上求一点M，使点M到直线x2y100的距离最小，并求出最小距离．

94x3cos，2sin)．

解析：因为椭圆的参数方程为，所以点M的坐标为(3cos，(为参数）y2sin，

由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为

34|5(cossin)10||3cos4sin10|555d|5cos(0)10|

55534

其中0满足cos0，sin0.由三角函数性质知，当00时，d取最小值5．此时

5598

3cos3cos0，2sin2sin0．

5598

因此，当点M位于(，)时，点M与直线x2y100的距离取最小值5．

55类型二

双曲线的参数方程

x2y2例2 如图，设M为双曲线22（1a，b0)上任意一点，O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平ab行线，分别与两渐近线交于A、B两点.探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？

b解析:双曲线的渐近线方程为yx.不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为yabA(asec，btan)，则直线MA的方程为ybtan(xasec).(*) aMba将yx带入（*），解得点A的坐标为xA(sectan).同理可得，点B的横Oxa2Ba坐标为xB(sectan). 2b设AOx，则tan.因此，平行四边形MAOB的面积为

axAxBa2(sec2tan2)a2a2bab

SMAOB|OA||OB|sin2sin2sin2tancoscos22a24cos2类型三

抛物线的参数方程

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中绳墨乃成直线，有规矩才定方圆

O是直角坐标原点，A、B是抛物线y22pxOMAB例3如图，且OAOB，（p0)上异于顶点的两动点，并与AB相交于点M. y

（Ⅰ）求△AOB的面积的最小值；

（Ⅱ）求线段AB中点P的轨迹方程；

AM

（Ⅲ）求点M的轨迹方程；

Oxx2pt2，解析：设抛物线的参数方程为(t为参数)，

y2ptB2

并设A(2pt12，2pt1)，B(2pt2，2pt2)，

22∵OAOB，∴2pt122pt22pt12pt20，∴t12t2t1t20，∴t1t21. 122（Ⅰ）△AOB的面积S(2pt1)2(2pt12)2(2pt2)2(2pt2)

222p2|t1t2|1t121t2≥2p2|t1t2|2|t1t2|4p2.

当且仅当t1t2，且t1t21时取等号.

2222xp(t1t2)p[(t1t2)2t1t2]p[(t1t2)2]，

（Ⅱ）设P(x，y)，由中点公式得

yp(tt)，12y2y22p，∴y2px2p2.

∴xp[()2]pp

（Ⅲ）当AB斜率存在时，

2pt22pt111kAB:y2pt(x2pt12)①，且OM:y(t1t2)x②，

，∴1222pt22pt1t1t2t1t2则AB，OM的交点为M的轨迹方程，联立方程得

2pt1t212pAB:(x2pt12)2pt1(t1t2)x，∴x③，

t1t21(t1t2)21(t1t2)22p(x0)，∴x2y22px0，即(xp)2y2p2. 由②③联立，得xy1()2x

当AB斜率不存在时，

0)，也符合(xp)2y2p2. t1t2，且t1t21，不妨设t11，t21，则点M(2p，

∴点M的轨迹方程为(xp)2y2p2(x0). 四、巩固提高

（一）选择题：

是参数）（1）已知动圆：x2y22axcos2bysin0(a，，则圆心的轨迹是（D）

b是正常数，ab，

（A）直线

（B）圆

（C）抛物线的一部分

（D）椭圆

1)是椭圆x24y24上一定点，P为椭圆上异于A的一动点，则|AP|的最大值为（C）

（2）A(0，

（A）33

（B）43

（C）43

3（D）83

3x4cos，（3）P是椭圆上一点，且在第一象限，OP(O为原点）的倾斜角为，则点P(为参数）3y23sin，的坐标为（B）

45415，)

（C）(23，3)

3)

3)

（A）(2，（B）(（D）(4，55选修4-4 第四讲 圆锥曲线的参数方程（第

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中绳墨乃成直线，有规矩才定方圆

x|cossin|，22(02）（4）参数方程表示（A）

1y(1sin)，211

（A）抛物线的一部分，这部分过点(1，)

（B）双曲线的一支，这支过点(1，)

2211

（C）双曲线的一支，这支过点(1，)

（D）抛物线的一部分，这部分过点(1，)

22（二）解答题：

x2（5）根据下列条件求椭圆y21的参数方程：

4为参数；

（Ⅰ）设ysin，t为参数．

（Ⅱ）设x2t，x2解析：（Ⅰ）把ysin代入椭圆方程，得到sin21，

4

于是x24(1sin2)4cos2，于是x2|cos|，由于具有任意性，

sin与cos的符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号，所以取x2cos．

x2cos，x2(为参数）

因此，椭圆y21的参数方程是．

ysin，44t2

（Ⅱ）把x2t代入椭圆方程，得到y21，于是y21t2，即y1t2．

4x2x2t，x2t，2

因此，椭圆y1的参数方程是或．

(t为参数）(t为参数）224y1t，y1t，x2y20)和B(0，b)是椭圆的两（6）如图所示，已知点M是椭圆221(ab0)上在第一象限的点，A(a，ab个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值．

y

xacos，(为参数）解析：由椭圆参数方程，

B

yasin，

bsin)，其中0故可设M(acos，2M

，因此

O

11S四边形MAOBS△MAOS△MOBOAyMOBxM

2212ab(sincos)absin()．

224所以，当A

x

4时，四边形MAOB面积的最大值为2ab．

2x2y2（7）已知A，B分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心的

369轨迹方程．

3sin)，由于点C不与A，B重合，故(0，)(，解析：设C的坐标为(6cos，2)．

22

设△ABC的重心G的坐标为(x，y)，



606cosx，30)，B(0，3)，由三角形的重心坐标公式，得依题意，知A(6，，

033siny3x22cos，即其中(0，)(，2)，这就是重心的参数方程，消去参数，得

y1sin，22选修4-4 第四讲 圆锥曲线的参数方程（第

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(x2)21)及(2，2)除外．

(y1)21，点(4，4(x2)21)及(2，2)除外．

所以△ABC的重心的轨迹方程为(y1)21，点(4，4x2y2（8）已知椭圆221(ab0)上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1，B2的连线分别与x轴abQ两点，O为椭圆中心，求证：|OP||OQ|为定值．

交于P，bsin)，P(xP，解：设M(acos，0)，Q(xQ，0)．

Q分别为B1M，B2M与x轴的交点，所以

因为P，

kB1PkB1M，kB2QkB2M．

acosacos，xQ．

1sin1sin有斜率公式并计算得xP所以|OP||OQ||xPxQ|a2（定值）．

五、感知高考

xt2（2013，陕西文）圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是

. y2t解析：(1，0)

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