二 多边形的面积（通用）第二课时 公开课

《钉子板上的多边形》

——在相同中整理,在不同中比较

城东镇西场小学俞晓建

教学内容:苏教版五年级上册第108-109页

教学目标

1、知识与技能目标:使学生探索并初步发现钉子板上围城的多边形的面积,与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系,并尝试用字母式子表示关系。

2、过程与方法目标:使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程,体会规律的复杂性和全面性,体会归纳思维,体会用字母表示关系的简洁性。

3、情感与态度目标:使学生获得探索规律成功的体验,树立学习数学的自信心;感受数学规律的奇妙,对数学产生好奇心,提高学习数学的兴趣和积极性。

教学重难点

重点:发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数的规律。

难点:类比推导出一般规律。

教学准备

钉子图纸,多媒体课件。

教学过程

一、故事引入,设疑激趣

1、熊大,熊二在森林里比赛谁用绳子围出的8棵树所占的面积大,(树与树之间排列均匀,相邻的树之间的距离是1米)?

(本环节利用森林里均匀分布的大树来替代点子图中的点子,利用实际问题激发学生兴趣。同时数据较大,以目前学生的认知水平解决这个问题有一定的难度,设疑激趣。)

二、简单入手,探究规律

1、它们设计了很多不同的形状。(课件出示)

这些不同形状的面积分别是多少平方米呢？

3、这些图形的面积分别是多少呢？你能根据面积的大小分一分类吗？

（此环节有两点规律，横向比较：多边形边上的点数个数相同，中间的点数数相同，无论什么形状，面积是相等的。纵向比较：多边形的面积是和多边形边上的点数个数和中间的点数的个数有关系的，而到底是什么关系呢？为下一步的探究做铺垫）

5、小组讨论，观察这一组表格，你有什么发现？

（这个环节抛开了数学书上从图形中只有一个钉子的图形的分析比较的方式，将不同情况同时出现，让学生在整体中感知规律，发现规律。由于钉子板上的多边形的面积与多边形边上的钉子数和多边形里面的钉子数这两个变量有关系，对于五年级的学生归纳和总结有一定难度，教师一定要做好恰当的引导，逐一分析，归纳概括，形成结论。）

6、交流：多边形的面积与多边形边上的钉子数和多边形中间的钉子数有什么关系呢？此时隐去表格和单位，添上等号，让学生思考如何才能找个一个相同的数量关系，让等式成立。

8÷2 + 0 -1 =3

7÷2 + 1 -1 =3.5

6÷2 + 2 -1 =4

5÷2 + 3 -1 =4.5

…… ……

n÷2 + a -1 = S

问：如果用S表示面积单位的个数，n表示多边形边上的钉子数，你能用字母表达式表示这一发现吗？

板书：S=n÷2+a-1

（通过观察、思考、探究，找出多边形面积的规律，培养学生善于发现的本领和技能，为下面的探究活动打好基础。由易到难，整个过程都充满挑战，让学生去猜想，然后用实验证明自己的想法，在教师的指导下总结规律，推导公式。我认为这是一个很有意义的推导过程，也许时间久了我们记不住皮克定理，但是我们一定记得多边形的面积与多边形边上的点的个数和多变形内的点的个数有关，规律是亘古不变的，特殊的时候可以以小见大，反推。）

三、自主探究，验证猜想

1、刚才研究的是点子总数为8的多边形，那么其他多边形也符合我们发现的这一规律吗？利用点子图纸，学生任意画不规则图形，验证发现的规律。可将学生的验证结果用实物投影仪展示，让学生体会数学的奇妙。

（此过程给学生较大的空间，开展探究性学习，让他们在具体的操作活动中再次思考，并与同伴交流，解决问题的过程体会数学规律高度的概括性。）

四、定量分析，解决问题

（学以致用的练习是课堂教学的重要组成部分，是巩固新授知识，形成技能技巧，培养良好思维品质，发展学生智力的重要途径。）

1、”凹”，” 凸”两个形状面积比较

谁的面积大？你能用皮克定理说明吗？

“凹”的面积是16平方米，“凸”的面积是20平厘米，既可以用面积公式或数格子的方法得到，也可以用皮克定理，换一个角度解释已知的数学问题，体会数学的神奇和魅力。

（多边形边上的点子数相同，图形内的点子越多，多边形的面积越大）

2、两个动物图形的面积比较

（多边形图形内的点子数相同，图形边上的点子数越多，多边形的面积越大）

3、复杂不规则图形

此环节通过定量分析的方法,利用多边形边上的点数相同,比较多边形内点数的多少;再进行多边形内点数相同,比较多边形边上点数的多少,让学生体会多边形的面积的大小受到两个变量的影响,小学生对两个变量同时影响结果接触较少,适当渗透,为将来学习更复杂的数量关系做铺垫。

五、回顾过程,交流体会

1.回顾刚才探索和发现规律的过程,你有什么体会和收获?

(回顾皮克定理,与他人交流和共享。表示规律的形式与方法很多,如果能用含有字母的式子表达,既清楚又简洁。探索规律比较辛苦,需要投入很多时间和精力,但是也很愉快,尤其是发现规律的时候,能品尝成功的喜悦。)

2、这个问题已经有一个伟大的数学家研究出来了,他就是奥地利的数学家皮克。他发现了计算多边形面积的一条路径。他将多边形放到格点中研究,发现多边形面积与多边形边上钉子数、边内钉子数之间的规律,并进行了证明。这个规律被称为“皮克定理”,被誉为史上“最重要的100个定理”之一。皮克观察的钉子图,笛卡尔观察蜘蛛发现了用数对确定位置,只要你拥有一颗敏锐的心和善于发现的眼睛,你也可以成为一名小数学家。

板书设计:

钉子板上的多边形

边上钉子数边内钉子数多边形面积

(枚)(枚)(平方米)

8 ÷2 + 0 7 ÷2 + 1 6 ÷2 + 2 5 ÷2 + 3 ………… -1 = 3 数据-1 = 3.5

-1 = 4

-1 = 4.5 猜想

N ÷2 + a -1 = S

验证

个人简介:

俞晓建,城东镇西场小学教师,2003年参加工作,本科学历。工作以来,执教县级公开课《图形的密铺》,《抽屉里的数学》,《找规律》,《抽屉里的数学》4节,文章《用顺口溜给小学数学学习提鲜》发表于《教育艺术》,《“学”“用”相辅识数学》发表于《吉林教育》,《抽象面积的直观模型》发表于《海安教育研究》,《求同存异,寻找小学教师的发展方向》发表于《山西教育》。《学用相辅识数学,用学向长知数学》获省《行知杯》二等奖;2010年,2013年2015年三次获县嘉奖;2015年被评海安县教坛新秀;2015获县教育装备现代化教学能手比赛一等奖。