5.4 二次函数与一元二次方程教学设计实例

5.4 二次函数与一元二次方程（1）

教学目标: 1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法；

2．理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图像特征；

3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）图像交点的横坐标．

教学重点：

经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．

教学难点：

准确理解二次函数与一元二次方程的关系．

教学过程（教师）

（1）明确结论

通过观察一次函数y＝x＋1的图像，可以发现并归纳一次函数与一元一次方程之间存在联系：

从“数”的方面看，当一次函数y＝x＋1的函数值y＝0时，相应的自变量的值即为方程x＋1＝0的解；

从“形”的方面看，函数y＝x＋1与x轴交点的横坐标即为方程x＋1＝0的解．[来源:学科网ZXXK]321y

–2–1实际上，这也反映了一般函数

与方程的关系：一次函数y＝ax＋b的图像与x轴交点的横坐标即y＝0的值就是方程ax＋b＝0的根．

学生活动

（1）解一元一次方程x＋1＝0；

xO–11（2）画一次函数y＝x＋1的图像，并指出函数y＝x＋1的图像与x轴有几个交点．

（3）一元一次方程x＋1＝0与一次函数y＝x＋1有什么联系？

设计思路

让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思

（2）尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）满足二次函数：

y＝－5x2＋20x，这个球飞行的水平距离最远是多少米？球的飞行高度能否达到40m？

学生活动

进入状态，兴致盎然．图像上每个点的横、纵坐标含义是什么？

[来源:学.科你是如何解决的，与同伴进行交流．

（问题的设置从生活情境引入，激发学生学习数学的）

（3）函数y＝x2＋2x与一元二次方程x2＋2x＝0有怎样的关系？

1．从关系式看二次函数y＝x2＋2x成为一元二次方程x2＋2x＝0的条件是什么？ 2．反应在图像上：观察二次函数y＝x2＋2x的图像，你能确定一元二次方程 x2＋2x＝0的根吗？

（从“函数值何时为0”着手，沟通二次函数与相应的一元二次方程的关系；通过函数图像揭示相应的一元二次方程的解的几何意义．）

（4）方法探索

二次函数y＝x2－2x＋2与一元二次方程x2－2x＋1＝0有怎样的关系？

二次函数y＝x2－2x＋2与一元二次方程x2－2x＋1＝0有怎样的关系？

学生仿照上面解决问题的方法，得出结果．

（学生对二次函数与一元二次方程的联系从特殊到一般性结论的讨论，逐步提高学生从旧知识中“类比猜想”“观察发现”“归纳概括”最后得出“结论”的从感性到理性的抽象思维能）

结论：

如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有两个公共点（x1，0）、(x2，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x＝x1、x＝x2，反过来也成立．

（学生对结论的归纳与提炼．完成一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数与二次函数y＝ax2＋bx＋c图像与x轴交点的个数的讨论，使学生对数学命题中各部分符号的含义能深刻理解．）

得出一般结论，以引导学生作进一步的观察、探索和归纳

列图像：

[来源:学_科_网]

（1）观察二次函数图像与x轴的公共点的个数；

（2）判断函数值为0时一元二次方程根的情况；

（3）你能找到它们之间的联系吗？

师生共同总结． 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况说明：

1．当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；

2．当b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有1个交点；

3．当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点．

结论由学生自己得出并完善,提高学生分析和解决问题的能力

练习：

图像，你能判断函数的图像y＝x2＋6x－6与x轴是否有公共点吗？请说明理由．

2．已知二次函数y＝x2－4x＋k＋2与x轴有公共点，求k的取值范围．

3．打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）之间具有关系：y＝－5x2＋20x，想一想：球的飞行高度能否达到40m？

方程x2＋4x－5＝0的根是

；则函数 y=x+4x-5 的图像与x轴的交点有 个，其坐标是 ．

222．方程x2＋10x－25＝0的根是

；则函数

y=-x+10-25 的图像与x轴的交点有 个，其坐标是 ．

3．下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是（ ）

A．y＝x2－x B．y＝x2－2 C．y＝x2＋6x－9 D．y＝x2－x＋2

4．已知二次函数y＝x2－4x＋k＋2与x轴有公共点，求k的取值范围．

(学生独立完成，小组交流所做结果，巩固对知识的理解．) 通过巩固练习加深学生对知识的理解．

归纳小结

1．一元二次方程的两个根即二次函数图像与x轴两个交点的横坐标，因此方程的根的情况决定着有无交点及交点的个数．

2．“给定函数值求自变量问题”转化为“解方程的问题”．

作业

课本P28习题5.4第1，2题．