5.5 用二次函数解决问题教案设计（一等奖）

12月1日空中课堂教学案

二次函数的应用（1）

江都区实验初中 王辉

1.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤。通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤。为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售。

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

2．某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 问题（1）总利润= × ，单件利润= — 。

（2）在这个问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

（3）根据前面的分析我们若设每个降价x元，总利润为y元，此时y与x之间的函数关系式是 ，化为一般式 。

这里y是x的 函数。现在求最大利润，实质就是求此二次函数的最值，你会求吗？试试看。

3.如图，一边靠学校院墙，其他三边用12 m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边2AB=xm，面积为S m。

（1）写出S与x之间的函数关系式； （2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？

4. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，

拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的

那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米．

0.5米

y 2.5米

O 2米

1米

x 1

12月1日空中课堂教学案

例1．（2018年江苏省连云港市）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（

）

A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同

B．点火后24s火箭落于地面

C．点火后10s的升空高度为139m D．火箭升空的最大高度为145m 【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．[来*源:中教网^%&~]

【解答】解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；

B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；[来#源:中教%*&网~]

C、当t=10时h=141m，此选项错误；[中^国教@育%&*出版网]

22D、由h=﹣t+24t+1=﹣（t﹣12）+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；[www#.%z~z@st&ep.com]

故选：D．[]

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质

例2．（2018扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．

【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；

（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；

（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．

2

12月1日空中课堂教学案

【解答】解：（1）由题意得：解得：．

，

故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，

（2）由题意，得

﹣10x+700≥240，

解得x≤46，

设利润为w=（x﹣30）•y=（x﹣30）（﹣10x+700），

w=﹣10x+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）+4000，

∵﹣10＜0，

∴x＜50时，w随x的增大而增大，

∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）+4000=3840，

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；

（3）w﹣150=﹣10x+1000x﹣21000﹣150=3600，

﹣10（x﹣50）=﹣250，

x﹣50=±5，

x1=55，x2=45，

如图所示，由图象得：

当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．

22222

【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．

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12月1日空中课堂教学案

例3．(2018·黄冈中考)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月x＋4（1≤x≤8，x为整数），销售量y(万件)与月份x(月)的关系为y＝每件产品的利－x＋20（9≤x≤12，x为整数），润z(元)与月份x(月)的关系如下表：

x z 1 19 2 18 3 17 4 16 5 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 10 11 10 12 10 (1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式；

(2)若月利润w(万元)＝当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元)，求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式；

(3)当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？

【分析】（1）根据表格,分两种情形作答即可．

（2）分三种情形写出月利润w（万元）与月份x（月）的关系式即可．

（3）分三种情形求出月利润w的最大值，再比较即可．

【解答】解：（1）根据表格可知：当1≤x≤10的整数时，z= -x+20；

当11≤x≤12的整数时，z=10；

∴z与x的关系式为：

-x+20（1≤x≤10，x为整数）

Z= 10（11≤x≤12，x为整数）

2（2）当1≤x≤8时，w=（-x+20）（x+4）=-x+16x+80 2当9≤x≤10时，w=（-x+20）（-x+20）=x-40x+400；

当11≤x≤12时，w=10（-x+20）=-10x+200；

2 -x+16x+80(1≤x≤8，x为整数) 2∴w与x的关系式为：

w=

x-40x+400(9≤x≤10，x为整数) -10x+200(11≤x≤12，x为整数) 22（3）当1≤x≤8时，w=-x+16x+80=-（x-8）+144，

∴x=8时，w有最大值144. 22当9≤x≤10时，w=x-40x+400= (x-20). W随x增大而减小，∴x=9时，w有最大值121. 当11≤x≤12时，w=-10x+200, W随x增大而减小，∴x=11时，w有最大值90. ∵90＜121＜144 ∴x=8时，w有最大值144.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用．分类讨论和熟练掌握函数的性质是解决本题的关键.

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12月1日空中课堂教学案

例4．(2018·衢州中考)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；

(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．

2解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝a(x－3)＋5(a≠0)，将(8，0)代入y＝a(x－3)＋5，

1解得a＝－，∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为

512y＝－(x－3)＋5(0＜x＜8)．

512(2)当y＝1.8时，有－(x－3)＋5＝1.8，

5解得x1＝－1(舍去)，x2＝7，

∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．

1162(3)当x＝0时，y＝－(x－3)＋5＝. 551216设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－x＋bx＋. 55∵该函数图象过点(16，0)，

1162∴0＝－×16＋16b＋，解得b＝3，

5512161152∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－x＋3x＋＝－(x－)5552289289＋，∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．

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12月1日空中课堂教学案

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．

课后作业：

1.（2015江苏南通）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元。若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元。已知该服装成本是每件200元。设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元。

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？

2. 如图，在△ABC中∠B=90º，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、Q分别从A、B同时出发。

（1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值是多少？

3.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。

⑴问此球能否投中？

⑵在出手角度和力度都不变的情况下, 小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?

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