三元一次方程组的解法2课堂实录【2】

8.4

三元一次方程组的解法

利川市凉雾乡民族初级中学

吕斌源

教学目标

1．理解三元一次方程组的概念．

2．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．

预习反馈

阅读教材第103至105页，完成预习内容．

x＋y＋z＝12，①解方程组：x＋2y＋5z＝22，②

x＝4y.③解：解法一：把③分别代入①②，得

4y＋y＋z＝12，y＝2，解得

4y＋2y＋5z＝22.z＝2.把y＝2代入③，得x＝8. x＝8，因此，三元一次方程组的解为y＝2，

z＝2.解法二：①×5－②，得4x＋3y＝38.④

把③代入④，得y＝2. ∴x＝8. 把x＝8，y＝2代入①，得z＝2. x＝8，因此，三元一次方程组的解为y＝2，

z＝2.一、新课导入

小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张．

(1)题目中有几个未知数，你如何去设？

(2)根据题意你能找到等量关系吗？

(3)根据等量关系你能列出方程组吗？

解：(1)设1元，2元，5元纸币分别为x张，y张，z张．(共三个未知数) (2)三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍．

(3)上述三种条件都要满足，因此可得方程组

x＋y＋z＝12，①x＋2y＋5z＝22，②

x＝4y.③总结：这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．

问题：怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？

5y＋z＝12【点拨】

可以把③分别代入①②，便消去了x，得到只包含y和z的二元一次方程组：．

6y＋5z＝22

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x＝8解此二元一次方程组得出y，z，进而代回原方程组可求x，解得y＝2．

z＝2二、例题精讲

3x＋4z＝7，①例1

(教材P104例1)解三元一次方程组：2x＋3y＋z＝9，②

5x－9y＋7z＝8.③分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．

解答

②×3＋③，得11x＋10z＝35.④

3x＋4z＝7，x＝5，①与④组成方程组解得

11x＋10z＝35.z＝－2.1把x＝5，z＝－2代入②，得y＝. 3x＝5，1因此，三元一次方程组的解为

y＝3，

z＝－2.问题：你还有其他解法吗？试一试，并与这种解法进行比较．

点拨

此方程组的特点是①中不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．反之用代入法运算较繁琐．

总结：解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一样的．即：

三元一次方程组――→二元一次方程组――→一元一次方程

x＋z－3＝0，①跟踪训练8.4习题)解三元一次方程组：2x－y＋2z＝2，②

x－y－z＝－3.③解：②－③，得x＋3z＝5.④

x＝2，解由①，④组成的方程组，得

z＝1.x＝2，将代入③，得y＝4. z＝1消元消元x＝2，∴原方程组的解为y＝4，

z＝1.例2

(教材P105例2)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60，求a，b，c的值．

分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．

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a－b＋c＝0，①解答：由题意，得三元一次方程组4a＋2b＋c＝3，②

25a＋5b＋c＝60.③②－①，得a＋b＝1.④

③－①，得4a＋b＝10.⑤

a＋b＝1，④与⑤组成二元一次方程组

4a＋b＝10.a＝3，解得

b＝－2.把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5. a＝3，因此b＝－2，

c＝－5.即a，b，c的值分别为3，－2，－5. ＋＋－【跟踪训练2】

已知2ay5b3xyczx与－4a2xb5cy是同类项，则x－y＋z的值为4．

三、巩固训练

1．解下列三元一次方程组：

3x－y＋z＝10，3x－y＋2z＝3，(1)x＋2y－z＝6，

(2)2x＋y－3z＝11，

x＋y＋2z＝17.x＋y＋z＝12.x＝3，x＝3，解：y＝4，

解：y＝8，

z＝5.z＝1.2．张大伯养了鸡、鸭、鹅三种家禽，所养鸡和鸭的只数之和比鹅的只数多19只，养鸭和鹅共20只，养鸡和鹅共23只，请你算一算张大伯养鸡、鸭、鹅各多少只？

解：设张大伯养鸡x只、鸭y只、鹅z只，根据题意，得

x＋y＝z＋19，x＝15，y＋z＝20，解得y＝12，

x＋z＝23.z＝8.答：张大伯养鸡15只、鸭12只、鹅8只．

四、课堂小结

解三元一次方程组的方法有几种？思路是怎样的？

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