小结与思考名师教学视频（文字实录）

<锐角三角函数〉复习与提升（1）教学设计

沭阳如东实验学校

曹海祥

教学目标

1．

复习巩固特殊角三角函数值、互为余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系

2．通过对三角函数的定义、有关阅读理解、及解直角三角形应用的提升，使学生体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决，渗透“数学建模”的思想。

教学过程

热身训练

计算：

sin230cos230sin30cos30sin45cos45

sin245cos245

sin60cos60sin260cos260你发现了什么？

猜想：

sin20cos20sin220cos220sin48cos48

sin248cos248

sin66cos66sin266cos266复习提升

一、定义提升

1、利用锐角三角函数的定义证明：

(1)sin2Acos2A1(2)1sinAcosA2

2、已知：sinAcosA1.2, 求: (1)sinA.cosA11

(2)sinAcosA提示：(sinAcosA)21.221.44sin2Acos2A2sinAcosA1.44

sinAcosA0.22

练一练

（1）

在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，

则cos∠ABC的值为________。

AB

C

提示：作辅助线构造直角三角形！

（2）如图，直径为5的⊙A经过点C(0,3)和

点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，

则∠OBC的余弦值为_______。

yCAxB

提示：找一个与之相等的角所在的直角三角形。

（3）如图，已知圆的直径AB=6cm，CD是圆上长为2cm的弦，当弦CD在半圆AB上滑动时，AC和BD延长线的夹角是否为定值？如果不是，说明理由；如果是，求出这个定角的正弦值．

如连AD、BC交于点Q，则它们的夹角AQC是否也是定值呢

O

二、阅读提升：

3.我们学了锐角三角函数，到了高中我们会在实数范围内继续研究三角函数，也就是自变量的取值可以不是锐角，还会学到很多诱导公式，比如：

sin（α+β）=sinαcosβ+sinβcosα

sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣sinβcosα

cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ

cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ

（1）请选择恰当的诱导公式求cos75°的值；

（2）请选择恰当的诱导公式求sin15°cos15°的值．

(3)求证：sincos2

4、问题背景

两角和（差）的正切公式是数学公式中的重要公式：即：

tan()tantantantan

,tan()1tantan1tantan（α、β的取值应使公式有意义）

（1）直接运用：

tan75°=tan（30°+45°）=

tan15°=tan（45°﹣30°）= （2）灵活运用：已知tanα，tanβ是方程2x2﹣3x+1=0的根，求tan（α+β）的值

（3）拓展运用

①如图1，三个相同的正方形相接，求证：α+β=45°．

②如图2，两座建筑物AB、CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD．

练一练

已知：tan1,tan2,tan3,求的度数

三、应用提升：

锐角三角函数在矩形中的应用

5．如图，过矩形ABCD的顶点B作BE⊥AC，垂足为E，延长BE交AD于F，若点F是边AD的中点，

求sin∠ACD的值

6.（2016•江西模拟）两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB=25，CD=17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）角度，如图2所示．

（1）利用图2证明AC=BD且AC⊥BD；

（2）当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC的长和α的正弦值．

(2)提示：如图3中，设ACx,BD、CD在同一直线上，BDAC，2AC2BC2AB2，x2（x17）252，解得x7AC7sinsinACBAB25

锐角三角函数在函数中的应用

方法总结：构造已知角所在的直角三角形

锐角三角函数在圆中的应用

方法总结：1、利用转化思想找出与其相等的角进行转化

2、由已知锐角三角函数值去设线段长度

巩固练习

1．

若2sin20,则锐角

2．若tan(20）30,则锐角

3．计算：(1)2sin45tan602cos30.

226tan23003sin6002cos450.

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，b= 23,c=4.则a= ，∠B= ，∠A= .

5.

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

6.小敏遇到这一个问题：已知α为锐角，且tan

如果cosA13tanB30,那么△ABC是（ ）

21,求tan2的值。

2小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验，先画出一个含 锐角α的直角三角形：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α．她通过独立思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2α角的几种方法： 方法1：如图2，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD． 方法2：如图3，以直线BC为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABC． 方法3：如图4，以直线AB为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABC． …

请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2α的值．（一种方法即可）