7.1 正切教案1

数学教学设计

7.1 正切（1）

1．认识锐角的正切的概念；

教学目标

2．经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；

3．激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．

教学重点

教学难点

计算一个锐角的正切值的方法．

计算一个锐角的正切值的方法．

学生活动

设计思路

教学过程（教师）

新课引入——情景导入

问题1：人们在行走的过程中，自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡．如图1，哪个台阶更陡？

图1

大多数学生会根据自己的生活经验来判断第二个台阶更陡一些，学生的回答大多是建立在倾斜的程度（实际上就是倾斜的角度）．

较好地发挥了“情景导入”的作用，让学生初步体会倾斜的程度可以靠倾斜的角度来判断和辨别，初步感受倾斜的角度越大，台阶就越陡．

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问题2：如图2，哪个台阶最陡？你是如何判断的？

图2

学生继续思考，寻找特点：

1．①、②两个水平宽度相同（都为8），高度不同，4 6 ②

8 ②中的高度（为6）高于①中的高度（为4），所以②比①陡．

由角度逐步转化为边之间的比较，①

8 2．②、③两个高度相同（都为6），水平宽度不同，来实现向新知识的自然过渡．

②中的水平宽度（为8）小于③中的水平宽度（为12），6

12 ③

所以②比③陡．

综合1，2可得，②最陡．

问题3：如图3，在图2中的①、③两个台阶，你认为哪个台阶更陡？你有什么发现？

8 ③

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图3

学生积极思考，寻找突破：

可以引导学生从相同的水平宽度或者相同的高度来比较它们的倾斜程度．

始终围绕台阶的倾斜程度展开，问题环环相扣，把新知识的特点不知不觉、4 比如：如图3，在③中从左向右截取水平宽度与①一步一步地呈现出来，正所谓“生其自相同（为8），利用三角形相似就可以求出此时所对应然、成其必然”．

的高度，发现高度（为6）与①中所对应的高度（为6）6 ①

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相等．所以它们的倾斜程度一样，即它们一样陡．

实践探索

问题4：如图4，一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出Rt△AB1C1、

Rt△AB2C2、Rt△AB3C3……

那么，你有什么发现呢？

观察、思考，并归纳、小结：

可以得到Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽

Rt△AB3C3……

根据相似三角形的性质，得

经过前三个问题的探究，学生似乎体会到斜坡倾斜的程度与边角之间的关系，让学生对所感悟的知识碎片进行整理，并结合图形进行准确地符号表达．通过数形结合的思维训练来探索数学规律，学习数学概念，有利于提高教学的有效性．

B1AB2B3B1C1B2C2B3C3……

AC1AC2AC3也就是说，如果直角三角形的一个锐角的大小确C1C2C3图4

定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定．

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总结提升

如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切A的对边（tangent），记作tanA，即tanA＝A的邻边B 类比、归纳：

A 对边b 图6

B 邻边a C 类似地，让学生类比出∠B的正切＝BCa＝．

ACb对边a

A

你能用同样的方法写出∠B的正切吗？

邻边b 图5

C 如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b、a分别的表示方法．趁热打铁，让学生表示出∠B的正切，有利于学生深入认识正切是∠B的对边和邻边. 那么，tanB＝B的对边ACb．

＝B的邻边BCa的定义，初步实现教学目标．

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例题

例1

如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，求tanA、tanB．

A

拓展：

4

图7

发表意见，表达观点，相互补充．

参考答案：

解：在Rt△ABC中，BC＝52423，

tanA＝BC3AC4，tanB＝．

AC4BC3B 5

师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力，会进行简单的说理．在拓展环节，尽量让学生表达，或是在互相交流的基础上C 从而发现tanA与tanB互为倒数，即

tanA·tanB＝1．而且，根据定义，我们发现tanA·tanB发表自己的看法，这样有利于学生对知＝ab识的进一步理解．

·＝1，所以，我们能得到互余两个角的正切值ba通过计算tanA、tanB的值，你有什么互为倒数．

新的发现吗？

例题

例2

如图8，在等边三角形ABC中，CD⊥AB，垂足为D．求tanA．

AD2

图8

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发表意见，表达观点，相互补充．

参考答案：

解：由题意知，AD＝在Rt△ACD中，

根据勾股定理，得

B

例2主要是针对角不在直角三角形中如何处理，要让学生明白寻找对边或C11ABAC．

邻边时要在该角所在的直角三角形中实

22现，从而引导学生去创造直角三角形培养学生分析问题的能力．

适时的问题拓展，开放性的问题设CD＝AC2－AD2＝2212AD3AD，

拓展：

通过计算tanA的值，你对60º的正切值tanA＝CD3．

AD计，既综合整理、当堂复习了新课知识要点，又留给了学生自由发挥的空间．

从而发现tan60º3，而∠ACD＝30º，

有什么认识？30º呢？你还能得到其他的tan∠ACD＝AD3，即tan30º3．

CD33吗？

利用等腰直角三角形的特点，还能求出tan45º＝1．

练习

1．如图9，求下列图中各直角三角形中锐角的正切值．

A ①

运用本节课所学数学知识解决问题．

参考答案：

1．解：①在Rt△ABC中，

A 15 ③

检测学生对本节课知识的掌握程度，考查了学生解决问题的综合能力．练习1让学生体会不同位置摆放的直角三角形不会影响锐角的正切值．其中的第三个图形的设计让第三边AC的结果不是整数（为26）．

练习2是正切的逆用，进一步让学生体会正切的结果是一个比值（tanA3，不代表BC＝3，AC＝4）．练4B A ②

C 7 5 图9

5 17 C B tan A＝BC5AC12，tanB＝．

AC12BC5

12

②在Rt△ABC中，AC＝1721528，

tanA＝BC15AC8，tanB＝．

AC8BC15B C ③在Rt△ABC中，AC＝725226，

tanA＝AC2BC5566．

，tanB＝BC5AC26122．如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

3AB＝10，tanA，求AC、BC和tanB．

4B 10

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习2的处理可以在学生充分讨论交流的C

图10

2．解：在Rt△ABC中，tanA＝3．

4基础上，教师给出适当的引导（比如：可以设BC为3m等）．

设BC为3m，则AC为4m，所以tanB＝AC4m4．又因为BC3m3AB＝10，所以(3m)2(4m)2102，所以m2(舍去-2)，

所以BC＝3m＝6，则AC＝4m＝8．

小结

通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．

共同小结．

师生互动，总结学习成果，体验成功．

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课后作业

1．课本P99习题7.1第1、2题；

2．思考题（选做）：

你能判断下面两个楼梯哪一个更陡吗？

5 ①

7 3 ②

选做题解法较多，但又不规定必须课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．

5 用几种方法，学生可根据自己的能力去自主选做．这样就能实现“课程标准”中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．

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