7.6 用锐角三角函数解决问题优秀公开课教案

7.6

用锐角三角函数解决问题(1) 泰兴市城东实验学校成君

［教学目标］

1．正确理解“坡度、坡角、倾斜角”等在实际问题中的意义．

2．能综合运用解直角三角形的知识解决实际问题，进一步培养“把实际问题转化为数学问题”的能力．

重点：用三角函数和坡度的有关知识解决工程中的相关实际问题．

难点：根据解决问题的需要，正确添加辅助线构造直角三角形，从而利用解直角三角形的方法解决实际题．

［教学过程］

活动一坡度的概念，坡度与坡角的关系

坡度：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i,即i=______；通常写成1∶m的形式

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a 坡度与坡角关系：从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝，

显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．

【尝试练习】

（1）斜坡的坡度是1：1，则坡角α=_______。

（2）如图1，一个小球由地面沿着坡度i1:2的坡面向上前进。若小球升高了10m，此时小球沿坡面向上前进

米；

变式：若小球沿坡面向上前进10m，此时小球升高

米．

D

A

图1

C

B

（3）如上右图是一个拦水大坝的横断面图，AD∥BC．

①斜坡AB＝10m，大坝高为8m．斜坡AB的坡度iAB＝__

_．

②如果坡度iAB＝1∶3，则坡角∠B＝___．

变式：如果坡度iAB＝1∶2，AB＝8m，则大坝高度为___．

活动二例题教学

例1 安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.

例2如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i（即tanβ）为1∶1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．

求：坝底宽AB的长（结果保留根号）．

D

C

α

A

β

B

方法提炼：

1．根据边、角条件求解的问题，一般要联想到解直角三角形知识．解决问题时要能依据已有图形，结合条件与所求，寻找到直角三角形，有时还需要通过作垂线构造直角三角形．

2．要注意合理选择三角函数公式和根据坡度的意义进行求解．

易错注意：注意坡度与坡角的区别．

变式拓展：

在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，背水坡AD的坡度改为1∶1.4．

（1）若离背水坡AD距离5米处有一座建筑，它是否会受影响？

（2）已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方？

（提示：土方计量单位一般为立方米）

D

C

α

A

β

B

活动三总结反思：

1. 认清图形中的有关线段; 2. 分析辅助线的作法; 3. 坡角在解题中的作用; 4. 探索解题过程，构造熟悉的直角三角形，解直角三角形。

活动四

练习反馈

1.

河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1:3 (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是（ ）

A．53 米 B．10米 C．15米 D．103 米

2.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为 则这25米，个坡面的坡度为_________ (1) (3) 3. 如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD=60°,为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为30°。求斜坡新起点A与原起点B的距离 (结果保留根号)

4.如图，小明从点A处出发，沿着坡度为10°的斜坡向上走了120m到达点B，然后又沿着坡度为15°的斜坡向上走了160m到达点C。问点C相对于起点A升高了多少？

sin10（精确到0.1m）参考数据(





0.17,cos10





0.98,sin15





0.26,cos15





0.97

)

C

B 15º

10º

A D

中午作业：

1.

如图，一束光线照在坡度为1: 的斜坡上,被斜坡上的平面镜α

反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是_________度. i=1:3

2．某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=680，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过500时，可确保山体不滑坡．

(1)求改造前坡顶与地面的距离BE的长(精确到0.1m)；

(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少是多少米(精确到0.1m)？（参考：tan680 ≈2.48，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan500 ≈1.19，

sin50°≈0.77，cos50°≈0.64.）

3.在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB的坡度i=5∶3，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度i=5∶6. (1)求原方案中此大坝迎水坡AB的长.（结果保留根号）

(2)如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？