5.4 二次函数与一元二次方程优秀教学实录

5.4二次函数与一元二次方程（1）

一、问题引入

1.二次函数的一般形式是什么？

2.令y=0，可以得到什么等式？

3.两式之间有什么相似之处？

二、活动探究

活动一

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1. y=x+3x与

x轴交点是_____

y=x-6x+8与x轴交点是______ 2. x+3x=0方程的根是________

x-6x+8=0方程的根是________

3. 你有什么发现？

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归纳1：

即：若一元二次方程ax²+bx+c=0 的两个根是x1、x2,则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（ ）、B（ ）。

反之，如果二次函数yax2bxc(a0)的图像与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)，那么一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实数根_____、______。

活动二

1.一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式(b²-4ac)与方程根的关系是：

① 当b²-4ac __ 0 时，方程 ；

② 当b²-4ac __ 0时，方程 ；

③ 当b²-4ac __ 0时，方程 。

2.二次函数 y=ax²+bx+c 图像与x轴的交点个数有几种情形？想一想,画一画

3、已知二次函数y=ax²+bx+c的图象和x轴交点,则ax²+bx+c=0根的情况如何？

4、已知二次函数y=ax²+bx+c的图象和x轴交点,则b²-4ac的情况如何？

归纳2 二次函数 y=ax²+bx+c的图像和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：

二次函数y=ax²+bx+c的一元二次方程

图像和x轴交点

ax²+bx+c=0的根

一元二次方程

ax²+bx+c=0根的判别式

三、随堂练习

1.二次函数y=x²+2x,y=x²-2x+1,y=x²-2x+2的图像如图：

(1)图像y=x²+2x与x轴交点个数( ) 一元二次方程x²+2x=0根的个数( ) 分别是（ ）

(2)图像y=x²-2x+1与x轴交点个数( ) 一元二次方程x²-2x+1=0根的个数( ) 分别是（ ）

(3)图像y=x²-2x+2与x轴交点个数( ) 一元二次方程x²-2x+2=0根的个数( ) 2.不画图像，你能判断下列函数的图像与x轴是否有公共点吗？请说明理由．

（1）y=x²+x-6 （2）y=-2x²+4x-2 （3）y=x²+3x+5

3.如图所示为y=ax²+bx+c的图像，不求函数表达式，你能写出一元二次方程

ax²bx+c=0的根吗？

四、拓展提高

打高尔夫球时，球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行

高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=20t–5t²。

考虑下列问题: (1)球从飞出到落地要用多少时间? (2)球的飞行高度能否达到15m?若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到20m?若能,需要多少时间? (4)球的飞行高度能否达到20.5m?若能,需要多少时间?

1.解答上面的问题

2.填表

二次函数

h的取值

对应的图像

列出的对应方程

20求出的t的值

h20t5t2

15

1510h20t5t2

20 h20t5t2

20.5 h20t5t2

0

245O

3.合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m? 五、课堂小结

1. 2. 3.