小结与思考教案和学案内容

二次函数综合题解题探究

教学目标：

1.学会大题化小题的拆题方法. 2.能在复杂图形中找出基本图形和基本题型. 3.学会审题、解题、反思三步骤. 4.培养学生知难而上的精神，遇事分析的习惯.

教学重难点：

1.怎样大题化小题，怎样审题、反思. 2.解决综合题要有拆分的意识.

教学过程：

一、引入

今天老师和大家分享一道原汁原味的中考压轴题.（出示课件上的中考题如下）

如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．

①写出点M′的坐标；

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

怎么样，同学们被一串长长的文字给吓住了吧! 综合题因为多个知识点的综合，不同方法的综合，思想方法的综合，图形的综合，有了这几个综合，解题难度自然就增加了。毛主席曾说过：“一切敌人都是纸老虎。”虽然我们没有他老人家豪迈的气概，但也不失挑战难题的勇气。今天就和同学们来找一找战胜这只纸老虎的方法。（课件出示课题，并板书课题）

二、师生共同分析

既然是综合题，那么同学们在解题时，就要拆综合为基础，化复杂为单一。（板书：解题

）

分析：先来看看这个图形能分离出哪些基本图形、基本题型。（板书：分离

基本图形、基本题型）

学生分析得出基本图形并板书：

基本图形

直角三角形、抛物线、三角形（RT△、三边不与坐标轴平行或不与坐标轴重

合）、四边形。

基本题型

1、求直线与X轴、y轴的交点。

2、求抛物线的解析式。

本题将这几个图形组合在一起。下面我们来进行审题，逐一解读题目的条件。（板书：审题）

“如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．”由这个条件能联想到什么？（板书：联想）

由过点B又能做什么？由抛物线的解析式又能联想到什么？

学生逐一回答，补充。比如，交点、顶点、增减性、比较大小等。

小结：通过联想，挖掘条件中的信息，将已知内容扩大。

第（1）题顺利完成，再来解决第（2）题. 分析1：设点M的横坐标为m,根据点M在抛物线上，且横坐标为m，能得到什么，在第一象限又说明了什么？

分析2：从前面的图形分离中，我们可知将背景抽离即为求三角形的面积，请同学们试试看，说说你为什么这样分割？学生上黑板展示分割方法.(课件展示多种分割法) 总结：

割补

不易求面积

易求图形的面积

转化

下面具体看其中一题的解题过程，注意取值范围。（课件展示解题过程）

有没有更为简单的割补方法。学生讨论，并选出最优化的方法黑板板书。

小结板书：在本题中，求最值是通过二次函数这个数学模型来解决的.我们所学习的知识点中哪些是涉及到最值得呢？（板书：最值类型）

第（3）问先抽离图形，d1、d2是两个变量，求两个变量的和可以怎么考虑？

学生回答（看作整体），怎样把两个短线段的和看成一个长线段？（动画展示平移）

还有别的方法吗？同学们想想看。同学间交流，引导由高联想到面积，板书分析并书写过程，S△ABM=S△ABC+S△AMC=111ACd1ACd2AC(d1d2).面积是222

定值，所以当AC有最小值时d1+d2的值最大，AC与BM垂直时，AC值最小，已知三角形三个顶点坐标，求出AB、MB的长度，由面积求出AC长，在直角三角形ABC中，

已知边长就可用三角函数求出角度。

小结：求几个线段的和通常用截长补短法.本题是借助平移的方法将两个线段和看成一个线段.在平面直角坐标系中，求角度，可以用三角函数.

三、反思拓展

小结：题目做好了，我们的解题工作还没有结束.俗话说“千金难买回头看”.解好题后，同学们还要回头再来看题。看什么？看题目中考查了哪些知识点，用了什么解题方法，哪些是通解通法，哪些是技巧性的方法。比如本题以二次函数为背景，考查三边不与坐标轴平行的三角形面积的最值问题，截长补短法，求角度转求三角函数等。经过解题后的反思，同学们才能在做题中积累经验，提高解题技能。

审题是解题的第一步，审题就是对结论、条件做认真解读.通过联想，充分挖掘和题目相关的信息.解题时要有“火眼金晶”，找到基本图形和题型，化复杂为单一，规范作答，想想是否有一题多解.反思,是解题的最后一步，也是最关键的一步.审题、反思最终都是为了能在解题时分离基本图形、题型，将难点逐一化解。掌握了这样的解题策略，我们处理综合题也就有了方向可寻。如果还以本题为背景，再追问，看看同学们能否通过审题，分离基本图形，找到解决的方法。

（课件逐一展示问题4、5）

如果再继续追问下去，还会发现其它的知识点也可以在二次函数这个大背景下分离出来.除了以二次函数为解题背景，有些题目还以圆、一次函数、四边形为背景，分离出其它的知识.解综合题没有固定的章法，题目千变万化，解法也不尽相同，但万变不离其宗，这里是大题拆小题，有时我们还要学着小题组大题.不管是小题还是大题，掌握好基础题才是硬道理.

四、本课小结

审题仔细

大题分解

反思积累

板书：

审题

解题

反思

联想

分离

解题经验

（挖掘信息）

1、不易求面积

割补

易求图形面积

条件

结论

基

本图形

基转化

本题

型

2、一题多解（解题最优化）

3、二次函数、一次函数、反比例函数（函数）

两点之间线段最短、垂线段最短等