2 用频率估计概率教案教学设计导入设计

第三章

概率的进一步认识

3.2 用频率估计概率

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生通过以前的学习，对用试验方法估计随机事件发生的概率有了初步的认识，知道了“当试验次数较大，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率”.

学生的活动经验基础：经历了试验、统计过程，获得了用试验方法估计事件发生的概率的体验，并且在以前的数学学习活动中已经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力.

二、教学任务分析

本节课的重点是掌握试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率。

难点是试验估计随机事件发生的概率；关键是通过试验、统计活动，体会随机事件的概率。

为此，本节课的教学目标是：

1、知识与技能

经历收集数据、进行试验、统计结果、合作交流的过程，估计一些复杂的随机事件发生的概率.

2、过程与方法

经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.

3、情感、态度、价值观

通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的试验、统计，提高学生学习数学的兴趣，且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观.

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三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：一、课前准备；二、情境引入；三、探索新知；四、练习提高；五、课时小结；六、布置作业；七、活动探究.

第一环节：课前准备（提前一周布置）

内容：以6人合作小组为单位，开展调查活动：每人课外调查10个人的生日、生肖.

目的：收集数据，为本节课的学习提供素材，在课堂中运用源于学生实际调查的真实数据展开教学，能极大地激发学生学习数学的兴趣及学习的积极性与主动性.另一方面，也锻炼了学生的社交能力.

实际效果与注意事项：学生课外收集数据时有可能来自相同的人，各小组课前准备时，教师提醒尽量避免调查相同的人，最好每个小组的调查范围相对确定，如：初一、初二、初三等。

第二环节：情境引入

内容：《红楼梦》第62回中有这样的情节：

当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同。……

袭人笑道：“这是他来给你拜寿.今儿也是他的生日，你也该给他拜寿.”宝玉听了，喜的忙作下揖去，说：原来今儿也是姐姐的芳诞.”平儿还福不迭。……

探春忙问：“原来邢妹妹也是今儿，我怎么就忘了。”

……

探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几人生日。人多了，便这等巧了，也有三个一日，两个一日的。……

目的：以小说情节开篇，引人入胜，直接引入与生日有关的话题，激发学生的学习兴趣.

实际效果：学生置身于情境之中，并陷入思考：为什么“便这等巧？”

第三环节：探索新知

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经历试验、统计等活动过程，估计复杂随机事件（生日相同）的概率。

内容：

教师提出问题串

（1）400位同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？有什么依据呢？

（2）300位同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？

（3）教师提出一个论断：“我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同”你相信吗？

对于问题（1），学生能给予肯定的回答“一定”，对于能力比较强的学生可以用“抽屉原理”加以解释。例如，有的学生会给出如下的解释：“一年最多366天，400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日，相当于400个物品放到366个抽屉里，一定至少有2个物品放在同一抽屉里—抽屉原理：把m个物品任意放进几个空抽屉里（m＞n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”。

对于问题（2），学生会给出“不一定”的答案。

对于问题（3），学生会表示怀疑，不太相信。

于是，在班级课堂里展开现场的调查。得到数据后请学生反思：

①

如果50个同学中有2人生日相同，能否说明50人中有2人生日相同的概率是1？

②

如果50人中没有2人生日相同，就说明50人中2 人生日相同的概率为0？

学生能根据以往的知识进行反思，并能举一些类似的问题作为例子。例如：

随意抛掷一枚硬币，若国徽面朝上，说它的确概率为1，国徽面朝下的概率为0.显然是错误的，我们知道它们的概率均为0.5.

随意抛掷一枚骰子，“6朝上”时我们说“6朝上”的概率为1，6朝下的概率为0，显然也是错误的，我们知道它们的概率为1/6.

活动一，每个同学课外调查10人的生日，从全班的调查结果中随机选择50人，看有没有2人生日相同，设计方案估计50人中有2人生日有相同的概率.

活动设计目的：通过具体收据数据、实验、统计结果过程，丰富学生的数学活动经验，对本节课有更直观的感知，经历用实验估计理论概率的过程，初步感

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受到生日相同的概率较大.

设计方案：学生自主设计.

附学生设计的方案：

方案一：将每个同学调查的生日随机排列成一方阵，然后按某一规则从中选取50个数据进行实验（如25×20），从某行某列开始，自左而右，自上而下，，选出50个数）.

方案二：把全班每个同学所调查的数据写在纸条上，放在箱子里随机抽取.

方案三：从50个同学手里随机抽取一个调查数据，组成50个数据.

方案四：全班分成10个小组，把每个小组调查数据放在一起，打乱次序，随机抽取5个，然后10个小组的结果放在一组成50个数据.

活动过程指导：

（1）节约时间，生日表示方式简化成四位数.如“0217”

（2）人人参与，大胆发言、交流、讨论从大量的重复试验活动中感受生日相同的概率较大.

（3）激励学生提出更好的活动方案，如：产生1～365之间某一自然数随机数的方法；分工制作1～365自然数卡片，放入纸箱随机抽取一张，记下号码，放回去，再随机抽取，直至抽出50张，多次重复试验，并估计出50人中有2人生日相同的概率，此为模拟试验.

活动评价指导：

（1）学生的参与程度，活动过程中的思维方式，与同学合作交流情况.

（2）鼓励思维多样性. （3）关注学生能否用实验方法估计一些较复杂随机事件发生的概率.

（4）关注学生对概率的理解是否全面.

（5）关注实验次数.

实际效果：通过以上探索活动，经历了大量重复试验，能估算出50人中有2人生日相同的概率是多少.约0.9704，很大.

结果可解释《红楼梦》生日相同“遇的巧”的问题.

这个结果出人意料之处就在于其结果违反了人们的直觉：人们往往觉得两人生日相同是一种可能性不大的事情，计算结果却是：如果人数不少于是23人，

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这种可能性就达50%.看下表是“几个人中至少有2人生日相同”的概率大小表：

n

20

21

22

23

24

25

26

27

28

p

n

p

0.6810

0.7105

0.7305

0.7533

0.7750

0.7953

0.8144

0.8322

0.8487

n

38

39

40

41

42

43

44

45

46

p

0.8641

0.8781

0.8912

0.9032

0.9140

0.9239

0.9329

0.9410

0.9483

n

47

48

49

50

51

52

53

54

55

p

0.9548

0.9606

0.9658

0.9704

0.9744

0.9780

0.9811

0.9839

0.9836

n

56

57

58

59

60

p

0.9883

0.9901

0.9917

0.9930

0.9941

0.4114

29

0.4437

30

0.4757

31

0.5073

32

0.5383

33

0.5687

34

0.5982

35

0.6269

36

0.6545

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第四环节：练习提高

内容：课本P168随堂练习

课外调查的10个人的生肖分别是什么？他们中有2人的生肖相同吗？6个人中呢？利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率.

目的：本问题与前面生日问题类似，借助于课外调查的数据再次进行有关问题的概率估算，丰富数学活动经验，直观感受较复杂事件的概率问题.

设计方案：模仿生日问题，学生自主设计，以上方案仅供参考.

方案一：全班分6人一小组试验（多出人员可一人当2人，3人），每人随机写下自己调查的一个生肖，小组长汇总收集数据，统计结果，课代表收集全班数据，估算6人中有2人生肖相同的概率.

方案二：将全班调查好所有结果写在纸条上，放进箱子里随机抽取6张.

方案三：生肖结果用数字代替排成方阵.

活动过程指导：

（1）简化过程，把生肖按顺序用1-12个数据代替.

（2）鼓励学生积极大胆发表自己的见解.

（3）在讨论、交流过程中使学生进一步感受大量重复试验中频率稳定于

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概率的意义.

（4）激励学生探索该问题的模拟试验.

活动评价指导：

（1）主要是积极评价，鼓励学生思维的多样性.

（2）看学生能否用试验的方法估计一些复杂随机事件的概率.

（3）关注学生对概率意义的理解是否全面.

（4）此问题的理论概率约0.78，在此不要求学生把结果精确到那一位.

第五环节：课时小结

内容：师生共同总结本节内容

目的：回顾本节教学目标

学生先自我总结，然后师生共析：

本节课经历了调查、收集数据、整理数据、进行试验、统计结果，合作交流的过程，知道了用大量的实验频率来估计，一些复杂的随机事件的概率，当试验次数赵多时，实验频率稳定于理论概率，还知道了“直觉并不可靠”，本节“生日相同的概率”50人中有2人生日相同的概率竟高达0.97，这有违我们的“常识”。实际上，生活中有很多类似巧合，实则平凡且极为平凡的现象，如果我们从科学的角度通过实验估计随机事件发生的概率，用知识来武装我们的头脑，我们就会“透过现象看本质”，也不会受别有用心的人的欺骗，从而破除迷信，树立正确的唯物主义世界观.

第六环节：布置作业

1、课本习题

2、收集有关概率的文章

第七环节：活动探究

本环节对学生的思维要求较高，仅供给部分学有余力的学生阅读和提高，并非对全体同学的要求。

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内容:

1、用“树状图”原理，求班上60名同学中至少有2人生日相同的概率

先求出“60人中没有两人生日相同的概率”

365×364×363×…×306

P(A)= ——————————————

=0.0059

365×365×365×…×365

则60人中有2人生日相同的概率为：

P=1-P(A)=1-0.0059=0.9941

即“60人中有2人生日相同的概率”为0.9941

如果班人有45人或55人等，可类似地进行计算

2、用“树状图”原理，求6人中至少有2人生肖相同的概率

先求出“6人中没有2人生日相同的概率”：

12×11×10×9×8×7

P(A)= ———————————

=0.22

12×12×12×12×12×12

则“6人中有2人生肖相同的概率”为：

P=1-P(A)=1-0.22=0.78

目的：巩固并拓展学生学习应用知识的能力.

四、教学反思

1、教材是教与学的素材，可以充分利用、拓展、丰富、创新.本节课教材提出的生日相同的问题，教师可充分发挥学生的想象能力，发散思维，设计多种多样的活动方案，完成本节教学任务，更重要的是发展学生的学习能力，合作与交流的能力.

2、学生是学习的主体，课堂也就应以学生为主体，教师起主导作用，多用积极的评价、恰当的引导，激发学生的学习兴趣，提高学习数学的积极性、主动性，让学生成为课堂学习的主人.

3、应注意的问题：①由于设计活动方案各异，可能时间上会紧张，需要在活动过程中老师加以引导，以便节省时间，按计划完成本节课教学任务.②对

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学困生在小组里的表现应予以更多关注，多鼓励其参与，并给予指导，使其完成一些力所能及的任务，产生成就感.

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