一元二次方程的概念教学内容概述

第二章

一元二次方程1．认识一元二次方程（二）

一．内容和内容解析

1.内容：在学生已有的估算能力的基础上，引导学生在具体的问题情境中，经历估计一元二次方程近似解的过程，寻找一元二次方程的解。

2.内容解析：

学生的知识技能基础：学生在七年级上学期学习的一元一次方程中，已经学习过方程的解的概念，此后又分别在二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程中多次学习了关于方程（或方程组）的求解的过程。因此对本章中的“使一元二次方程的左右两边的值相等的未知数的值即为该一元二次方程的解”的概念不难理解；

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题。同时通过上一节课的学习，学生发现，一元二次方程在生活中也有着广泛的应用，而列方程、解方程和应用方程是一体的。在学生已有的估算能力的基础上，引导学生在具体的问题情境中，经历估计近似解的过程，寻找方程的解。同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二．目标和目标解析

教科书基于学生已有的估算意识和能力以及对方程的解的理解的基础之上，提出了本节课的具体学习任务：经历一元二次方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《认识一元二次方程》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。具体目标为：

1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。

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2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。

3、进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。

三．教学问题分析

1、关注只是发生发展过程、关注数学活动过程

由于在旧教材当中，解方程的过程大多是根据方程的特点，运用不同的解法直接求精确解，学生掌握的更多的是解方程的技巧和准确度。《标准》中明确要求加强学生估算意识和能力的培养，这一方面可以促进学生对方程解的理解，另一方面又为方程精确解得研究作了铺垫。本节课通过日常生活中丰富有趣的问题情境：让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型；体会“夹逼”数学思想在现实生活中随处可见，让学生真正经历“夹逼”数学思想解题的过程，从而更好地理解“夹逼”思想解一元二次方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣；由学生探索交流，分析此种方法的优缺点，从而概括出这种方法的实质及解题步骤，这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念。学生亲身经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯。当然，学生是不可能满足于所获得的近似解的，必然产生精确求解的内在要求，在此基础上自然引入方程的精确求解，从教育心理学角度讲，是符合学生认知规律的，是不可或缺的一个重要过程。

2、创造性使用教材

在第三环节的做一做中，我将问题串的顺序稍作改动，使得问题的解决更加流畅。

3、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会

课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言以及小组合作学习等方式，帮助学生形成积极主动的求知态度。本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，在此过程中，教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，

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以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学。

4、注意改进的方面

本节课的学习中，重点是使学生在求解的过程中体验方程解的含义，教师应引导学生讨论并探索求解的过程，防止学生在求解过程中只注重表格的数据的计算，而忽视了对数据特点的分析，忽视了探求解的意识。在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。

四．教学条件分析

为了有效实现教学目标，可以借助计算机或者计算器来参与估算，通过计算机演示帮助学生体会估算的思想方法。

五．教学过程设计：

(一)复习回顾

在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：

82x52x18，即：2x213x110；

x6272102，即：x212x150。

发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x吗？

(二)情境引入

1、16枚金币中有一枚略轻，用天平至少称几次可以鉴别出来? 2、某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个危重病人，忽然电停了。据了解原因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工，如何迅速查出故障所在? (线路长10km，每50m一根电线杆）

想一想：维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 3、在前一节课的问题中，我们若设所求的宽度为x(m)，得到方程：82x52x18，即：2x213x110；

（1）根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？

3

?说说你的理由．

（2）x可能小于0吗？可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流．

（3）完成下表：

x 2x2-13x+11 0

0.5

1

1.5

2

2.5

（4）你知道所求的宽度x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．

(目的)：设计问题1，目的在于激发学生的学习兴趣，同时让学生体会和理解“夹逼”的思想，为2的解决提供铺垫；

问题2，顺应第1环节，设法求出花边的宽度，这里引领学生经历一个初步估计范围、逐步逼近的过程，为后续其他问题的解决提供了范本、样例。

（三）做一做

上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x672102，把这个方程化为一般形式为x212x150

2（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? （2）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗?为什么? （3）底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么? （4）x的整数部分是几?十分位是几? (目的)在本环节中，使学生充分体验探求方程解的过程，这既是对上一环节的一个练习巩固，更重要的是在列表求解的过程中，引导学生先确定解的范围，从而让学生建立两边“夹逼”的思想方法，进而体会无限逼近的思想，促进学生对方程解的理解，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。同时，对于近似解的讨论，一方面可以促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力，另一方面又为方程精确解的研究做铺垫。需要指出的是，在这一环节的计算中，应提倡学生使用计算器。

附学生对第（1）问的说理过程如下：

在此题中，我认为x的取值范围是0＜x＜4。首先，梯子滑动的距离x＞0是显而易见的，在下图中，求

得BC=6m,而BD＜10m,因此CD4

＜4m。所以x的取值范围是0＜x＜4。

学生完成下面的表格：

x x2+12x-15 0 -15 1 -2 2 13 3 30 4 49 同时发现：没能在这些整数取值中找到方程的解，但却通过表格分析发现，当x的取值是1和2时，所对应代数式的值是-2和13，而且随着x的取值越大，相应代数式的值也越大。因此若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间。从而确定x的整数部分是1。教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解。以下分了两种不同的做法：

甲同学的做法：

x x2+12x-15 所以1＜x＜1.5 进一步计算：

x x2+12x-15 所以1.1＜x＜1.2 因此x的整数部分是1，十分位是1。

乙同学的做法： x 1.1 1.2 0.84 1.3 2.29 1.4 3.76 1.5 5.25 1.6 6.76 1.7 8.29 1.1 -0.59 1.2 0.84 1.3 2.29 1.4 3.76 0 -15 0.5 -8.75 1 -2 1.5 5.25 2 13 x2+12x-15 -0.59 所以1.1＜x＜1.2 因此x的整数部分是1，十分位是1。

丙同学的做法：

5

x x2+12x-15 0 -15 2 13 1 -2 1.5 1.25 1.125 1.0625 5.25 1.5625 -0.234 -1.12 1 1.0625 1.125 1.25 1.5 2 - - - + + + + 所以1.1＜x＜1.2 因此x的整数部分是1，十分位是1。

对于这几种做法，教师要及时地给与肯定和鼓励，并可将二者加以比较。

通过这一练习，可要求学生整理用“夹逼”思想解一元二次方程的做题思路，并可展示课本中小亮的求解过程。

(四)练习与提高 五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。您能求出这五个整数分别是多少吗？

(目的)：为了检测学生对本课教学目标的达到的情况，进一步加强知识的应用训练，我给出了课本上的这道题目，这也是上一节课中的一个数学问题的延续。引导学生从知识获得途径、结论、应用、数学思想方法等几个方面展开，引导学生自主归纳完成，这有利于强化学生对知识的理解和记忆，提高分析和小结能力。教学中应关注学生对五个连续整数的不同表示方法，让学生比较异同，并在比较中找出最好的表示方法。同时这一题目也是对本节知识进行的巩固练习。

(五)读一读

用3，4分钟阅读课本第34页读一读自己

(六)课堂小结

师生互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。

(目的)鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）

(七）布置作业

课本37页习题2.2第1题、第2题、第3题.

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