阅读与思考　一次方程组的古今表示及解法优质课一等奖

8.4 阅读与思考——一次方程组的古今表示与解法

一、内容和内容解析

1.内容

一次方程组的古今表示和解法。

2.内容解析

这篇供选学的短文是从《九章算术》中有关一次方程组的算筹表示和解法说起，展示了古代如何用算筹图表示和解多元一次方程组，然后对照现在学习的一次方程组的表示法和解法，联系现代的矩阵表示和解法，指出一次方程组的古今表示法与解法是一脉相承的。介绍了中国传统数学的光辉成就，感受数学文化的熏陶。

二、目标和目标解析

1.

目标

（1）会用算筹表示和解多元一次方程组。

（2）理解一次方程组的古今表示与解法是一脉相承的。

（3）传播数学文化。

2.

目标解析

达成目标（1）的标志是：学生掌握用算筹表示一次方程组的方法和解一次方程组的一般步骤。

达成目标（2）的标志是：让学生经历用算筹表示和解一次方程组的过程，联系现代高等代数中有关矩阵的内容，体会一次方程组的古今表示与解法一脉相承的，进一步体会消元思想和化归思想。

达成目标（3）的标志是：了解中国传统数学成就，知道数学一次方程组发展的进程。

三、教学问题诊断分析

1.学生第一次遇到古文表示的一次方程组的实际问题，古文需要翻译成现代汉语进行分析。

2.算筹是古代记数的方法，需要理解算筹表示的数字，以及用算筹表示数字。

3.三元一次方程组的解法属于选学内容，难度较大。解三元一次方程组的步骤多，需要理解每一步的目的和依据。把探究过程分解细化，逐一实施。

本节课的教学难点是：会用算筹表示和解一次方程组，理解古今解一次方程组的解法都是加减消元法，思想都是消元。

三、教学过程设计

1.情境导入

师生活动:师生共同观看微课《算筹》。

问题1 古人是用什么表示数字的呢？

师生活动：学生回答：算筹。

追问(1):古人摆出来的算筹有几种方式？

师生活动：学生回答：两种。

追问（2）：哦，说得非常好！这个算筹表示多少？它呢？

师生活动：学生回答：3,8,18,33。通过对微课内容的提问，认识算筹这种记数方法。用算筹表示数，从个位到十位，再到百位，再到千位，纵横相间，以此类推，可以表示出任意大的自然数。教师总结：有了算筹这个只是储备，那么今天就由我带领大家共同穿越回两千年前的数学课堂，共同体验一下，古人是如何进行一次方程组学习的。

设计意图：用微课介绍算筹，了解算筹表示数的方法。

问题2 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；

问上、中、下禾实一秉各几何？

师生活动：教师指出我国很早就开始对一次方程组进行研究，《九章算术》在唐朝就被朝廷命令为教科书，这是《九章算术》方程章的第一题。

设计意图：传播数学文化，了解古代数学的辉煌成就。

2.自主学习

问题1：如何用方程解决这个古代问题？

问题2：书中的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？

问题3：古今解决这个问题的方法有什么相同点和不同点？

师生活动：学生5分钟时间阅读课本第107和108页。并解决这三个问题。教师来回巡查，

设计意图：学生自主学习，会用三元一次方程组解决这个古代问题，知道古代用算筹图解决实际问题的意思，对照现在和古代的解决这个问题的方法，比较两者的相同点和不同点。

3.

合作学习

师生活动：小组讨论（3分钟时间），讨论要求为组长组织组员解决上述三个问题，对组员存在的问题进行说明，形成解题思路，准备汇报。

设计意图：学生通过小组讨论，共同合作解决这三个问题，形成共性。

4.展示成果

师生活动：小组汇报。对于问题1，教师可总结：当实际问题中出现多个未知量时，列多元方程组将更加简单直接。就是将实际问题转化为数学问题（设未知数，列方程或方程组），再检验解的合理性，进而得到实际问题的解。这一过程就是建模过程。

（问题1的答案：

解：设每束上等谷可得粮食x斗,中等谷可得粮食y斗,下等谷可得粮食z斗。

根据题意可列方程组得

37x3x2yz394

17y2x3yz34

411x2y3z36

z437

4174114答：设每束上等谷可得粮食斗,中等谷可得粮食斗,下等谷可得粮食斗。

问题2的答案：算筹图就是用算筹列出的方程组，它省略了各未知数、加号和等号，只用算筹表示出未知数的系数和相应的常数项。

问题3的答案：相同点：解法相同都是加减消元法，数学思想相同都是转化思想；不同点：表示方法不同。

）

设计意图：对于问题3，学生对相同点的总结更有利于体会一次方程组的古今表示与解法是一脉相承的。学生对不同点的总结将更好地认识数学的发展。

5.学习古代解方程组

例

利用算筹解一次方程组。

师生活动：学生说出解方程组的步骤，教师同时在白板上摆弄算筹，将三元一次方程组转化为二元一次方程组。学生概括加减消元法的步骤，以及注意事项。

追问（1）：接下去怎么做呢？解法还是什么？

师生活动：学生回答：加减消元法。小组合作完成剩下的利用算筹解方程组的步骤，完成后选出代表汇报。

设计意图：先让学生分析解题思路，并对比、确定消哪一个元计算更简捷，使学生经历用古代用算筹解方程组的过程，理解古今解法都是加减消元法，数学思想都是转化思想。

6.

学习现代解方程组

师生活动：教师直接给出这种由数排列成的表叫做矩阵。介绍对于大型方程组，把矩阵输入计算机，基本上1秒内就可以完成解方程组。

追问（1）：比较矩阵和算筹图，可以发现矩阵只是用什么代替了算筹？

师生活动：学生回答：数字。

追问（2）：你觉得还会用什么方法解这个矩阵？

师生活动：学生回答：加减消元法。

教师直接给出矩阵经过变换得到的最终形式。

追问（3）：你知道这个矩阵的实际意义是什么吗？

师生活动：引导学生得出下图对应的方程组的解，体会一次方程组的古今表示和解法是一脉相承的，并介绍数学一次方程组发展的历程。

设计意图：先让学生比较用矩阵和用算筹表示方程组的相同点和不同点，引导学生总结一次方程组古今解法的一致性，和数学发展就是不断符号化的过程。

7.知识应用

问题二：《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.如图1中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的

方程组形式表述出来，就是A3x2y19x4y23， 类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为( ) 2xy62xy192xy112xy11DCB4x3y234x3y274x3y27

4x3y22师生活动：学生独立思考，并说出得出这个问题的答案的过程。教师总结概括解决这类新定义题目的步骤：1.先解释算筹图中每个算筹的代表的意义；2.再写出对应的方程组。

设计意图：借助本题，让学生学会将用算筹图表示的方程组转化为现在用数学符号表示的方程组，实现这两种表示方法的互换，进一步理解古今表示方法的一脉相承。

练习一：《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”

（只列不解）

（1）你能用算筹图表示古代解决这个问题的方法吗？

（2）你能用二元一次方程组表示现在解决这个问题的方法吗？

（3）你能用矩阵表示现代解决这个问题的方法吗？

师生活动：学生具体操作，写出这三种表示方程组的方法。

练习1有一定难度。如果学生不能独立解决，进行以下追问。尽可能让学生多思考，追问的问题不要一次性给出。

追问（1）：有没有理解这道题目的？谁能把这个古代题目翻译成现代汉语？

师生活动：学生回答：现在有甲乙两个人不知道各有多少钱，甲拿了乙的一半后2共有50钱，乙拿了甲的后也共有50钱。请问：甲乙各有多少钱？

3追问（2）：这里研究的实际上是数量的和差倍分问题，你能说出里面的等量关系吗？

12师生活动：学生思考分析，发现甲+乙=50,乙+甲=50。

23追问（3）：你能用算筹图表示古代解决这个问题的方法吗？

师生活动：学生发现用算筹表示分数遇到困难。进而通过去分母，转化为整数系数的方程组，进而用算筹图表示一次方程组。

追问（4）：你能用二元一次方程组表示现在解决这个问题的方法吗？你能用矩阵表示现代解决这个问题的方法吗？

师生活动：实物投影学生的学案，学生自由发言，相互启发，不断补充完善表示方法，加深对古今表示一次方程组的理解。

设计意图：让学生用不同的方法表示一次方程组解决这个实际问题，并对比，分析，哪种表示方法更简洁。使学生经历数学发展的进程，体会数学化多为少，化繁为简的思想，感觉到数学的发展其实就是不断符号化的过程。并为后面课堂小结作铺垫。

8.课堂小结

通过本节课学习你学到哪些知识？

9.

作业布置

1.完善学案.（必做）

2.收集古代一次方程组的题并解决，感受中华传统文化的魅力。（选做） 五、目标检测设计

《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？”

译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10 两；2头牛、5只羊，值金8两。问每头牛、每只羊各值金多少两？”

设计意图：本题主要考察学生对利用一次方程组解决古代问题的掌握。