三元一次方程组的解法2课堂实录【1】

8.4

三元一次方程组的解法2

一、内容和内容解析

1．内容

三元一次方程组的解法．

2．内容解析

本节课的例题1是根据已知的三对对应的x，y值，列出关于a，b，c的三元一次方程组，通过解方程组求出a，b，c的值．列出这个方程组很容易，但解这个方程组相比第1课时要复杂一些．通过求解这个三元一次方程组，进一步巩固三元一次方程组的一般解法．

在二次函数的内容中，我们由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上任意三个点的坐标，确定它的系数a，b，c，从而求出二次函数的解析式．对这类问题的求解也要用到三元一次方程组的解法．

并通过求解过程总结出解三元一次方程组的一般步骤及根据三元一次方程组的特点，总结归纳出求解四钟类型的三元一次方程组的消元方法。

本节课的教学重点：三元一次方程组的解法．

二、教材解析

本节课是三元一次方程组的第2课时，主要内容是教材中的例2．它是三元一次方程组的简单应用．设置例2的目的一个是将列、解三元一次方程组结合起来，体现用三元一次方程组解决具体问题的过程．另一方面是所列出的三元一次方程组中每一个方程均含有三个未知数，这是和第1课时中的方程组不同的地方，通过解这个方程组巩固三元一次方程组解法的基本思路，进一步明确解三元一次方程组的过程．

三、教学目标和目标解析

1．教学目标

会解较复杂的三元一次方程组．

2．目标解析

通过求具体问题的解，巩固三元一次方程组解法的基本思路，进一步明确解例2这样的三元一次方程组的过程．

四、教学问题诊断分析

本节课要解的三元一次方程组与第1课时中出现的例题和习题不同：方程组中的三个方程均含有三个未知数，要通过两次消同一元，才能将三元一次方程组转化为二元一次方

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程组．

本节课的教学难点：如何将三元一次方程组转化为二元一次方程组．

五、教学过程设计

（一）课前导入

问题1 你能说一下如何解三元一次方程组吗？它的基本思路是什么？

师生活动：教师提出问题，由学生回答，通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。

【设计意图】让学生回忆解三元一次方程组的基本思路，明确消元思想．

（二）合作探究

探究：三元一次方程组的解法

活动1：例1在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60，求a，b，c的值．

问题2 根据已知条件，你能得到什么？

师生活动：学生充分读题，教师通过问题串，引导学生求解这个问题．

追问1

对于等式y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0，根据这个条件会得到什么？

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，会得到方程a－b＋c＝0．若学生回答的结果是0＝a－b＋c，应让学生改写一下．

追问2 你还能列出另外两个关于a，b，c的方程吗？

师生活动：学生给出答案4a＋2b＋c＝3，25a＋5b＋c＝60，并列出由这三个方程组成的三元一次方程组

a－b＋c＝0，

①

4a＋2b＋c＝3，

②

25a＋5b＋c＝60．

③

【设计意图】让学生利用求代数式值的方法，根据已知条件列出方程，并组成一个关于a，b，c的三元一次方程组．

问题3 你会解这个方程组吗？如何将这个三元一次方程组转化为二元一次方程组？

师生活动：学生回答用消元的方法将三元一次方程组转化为二元一次方程组．

追问1 先消去哪个未知数？为什么？

师生活动：学生给出答案先消去c，会比较简单．

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【设计意图】让学生先认真观察系数特征，再说出先消去c的理由，选择系数的绝对值最小的进行消元．

追问2 如何消去c？

师生活动：学生回答②－①，得3a＋3b＝3，即a＋b＝1

④，

③－①，得24a＋6b＝60，即4a＋b＝10．

⑤

【设计意图】让学生根据方程组中系数的特征，选择用加减消元法消去c．

追问3 现在得到二元一次方程组了吗？如何得到？

师生活动：学生回答：方程④和⑤可组成一个二元一次方程组．

【设计意图】让学生根据未知数的系数特征，明确如何消元．

问题4 现在你能求出这个二元一次方程组的解吗？能得到三元一次方程组的解吗？

师生活动：在教师的引导下，由学生一步步完成这个三元一次方程组的求解过程．让学生进一步明确解三元一次方程组的过程．要将三个三元一次方程两两组合，经过两次消元，得到两个二元一次方程，解这两个二元一次方程组成的方程组，求出这两个未知数的值，再代回原方程组中的任何一个三元一次方程，求出另外一个未知数的值．

【设计意图】让学生完成求解过程．

问题5 如果还是选择消去c，你有其他的方法吗？

师生活动：学生回答③－②可得21a＋3b＝57，即7a＋b＝19．

⑥

方程④与⑥也可以组成一个二元一次方程组，也可以求出这个三元一次方程组的解．

【设计意图】让学生体会在消元的过程中，三个三元一次方程两两组合，都可以消元得到二元一次方程组，但在计算时会有繁易的区别．

问题6 消去a或b可以吗？如何操作？

师生活动：学生回答可以．若要消去b，可将①×2＋②，得6a＋3c＝3，即2a＋c＝1．再将①×5＋③，得30a＋6c＝60，即5a＋c＝10．若要消去a，可将②－①×4，得6b－3c＝3，即2b－c＝1．再将③－①×25，得30b－24c＝60，即5b－4c＝10．

问题7从解这种三元一次方程组的过程中可以发现，无论消去哪个未知数都可以得到二元一次方程组，但是你认为消去哪个未知数更简单？为什么？

师生活动：学生回答先消去c，会更简单。因为c的系数的绝对值最小

【设计意图】让学生明确解三元一次方程组时消去哪个未知数都可以得到二元一次方程组，但是消去不同的未知数，在计算时会有繁易的区别．所以，在解三元一次方程组时，要先认真观察各未知数的系数的特征，再确定消去哪个元及如何消元．

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活动2：

（1）通过求解这种类型的三元一次方程组以及上节课的学习，解三元一次方程组的一般步骤是怎样的呢？

①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；

②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；

③将求得的两个未知数的代入原方程组中一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；

④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；

⑤将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起，就是所求的三元一次方程组的解。

（2）我们已经知道解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。

所以解三元一次方程组时，关键先把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题，而在转化的过程中关键又在于消元，消去哪个未知数，怎样消，是用代入法还是加减法，这就要求我们要认真地观察、分析，根据方程组的特点，确定消元的对象及做法，这样不但可以节省时间，也可以帮助我们更准确地解决问题.

例如：

观察下列方程组中三个方程的特点，你认为选择哪种消元方法较简便，是选择代入法还是加减法？若用加减法解方程组，观察下列方程中每个未知数的系数，先消哪个元比较简便？为什么？

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xyz6,3x4y7,xyz12,(2)3x-2y3,(3)2x3yz9,(1)x2y5z22,2x3yz125x9y7z8x4y.2x3yz6,(5)xy2z1,x2y2z54x9y8,(4)3y-2z2,

5x3z7总结归纳：

类型一：有表达式“x=···，” 用___________较简便. 类型二：当给出的三元一次方程组，其中一个方程只含两个未知数，应将含有三个未知数的两个三元一次方程结合消去一个未知数，使其所含未知数与只含两个未知数的方程中的未知数相同，再解这个方程组，求出两个未知数，进一步求出另一个未知数。也即是缺某元，____________ 类型三：当给出的三元一次方程组，三个方程都只含两个未知数，应消去______________________________的未知数，将其中两个含有消去未知数的方程结合消去一个未知数，使其所含未知数与另一个只含两个未知数的方程中的未知数相同，再解这个方程组，求出两个未知数，进一步求出另一个未知数。

类型四：方程组中三个方程都是三元一次方程，应将三个三元一次方程两两组合，用_______消元法，进过两次消元，使方程组变为二元一次方程组. 在消元时，常常选取_____________________________。

(三)

课堂练习

解下列三元一次方程组：

师生活动：学生写出解这个方程组的过程，教师总结消去系数的绝对值最小的未知数会比较简单．

【设计意图】巩固三个方程均含有三个未知数的三元一次方程组的解法．让学生进一步明确先消哪个元，如何消元．

（四）课堂小结

- 5 - 3x2yz13,(6)xy2z7,2x3yz12

通过这节课的学习，你能说说本节课学到了什么吗？

【设计意图】让学生回顾本节课的过程，进一步体会由“三元”到“二元”的转化过程

（五）布置作业

教科书习题8.4第2题第(2)小题，第5题．

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