2.2.1 直线的参数方程教学内容概述

《直线的参数方程》说课稿

一、

教材分析：

（一）

教材的地位和作用：

《直线的参数方程》是高中数学人教B版教材，选修4-4的第二章《参数方程》中第二节的内容，是高考三选一内容中的一部分。

本节课是必修二中《平面解析几何初步》和选修2-1中《圆锥曲线与方程》等知识的进一步延伸，同时也是研究直线与圆、直线与圆锥曲线的另一种方法。

本节内容一共分为两课时，今天主要研究第一课时——直线参数方程的标准形式及其应用，我将直线参数方程的一般式列为了第二课时，因为研究了参数方程标准形式的应用，对于一般式的应用，必要时只需将其转化为标准式即可。

（二）

教学目标：

1.知识与技能目标：掌握直线参数方程的标准形式并理解其参数的几何意义；会应用参数的几何意义解决与距离有关的问题。

2.过程与方法目标：通过参数方程的推导过程学会直线普通方程与参数方程之间互化的方法；通过参数几何意义的讨论，树立数形结合的思想。

3.情感、态度与价值观目标：在参数方程的推导过程中，培养学生逻辑思维的严谨性；在师生间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情. （三）教学重点、难点：

教学重点：直线参数方程的标准形式及其应用；

教学难点：对直线参数方程标准形式中的参数的几何意义的理解. 二、学情分析：

我所面对的是高三年级的学生，他们已经学完了高中数学的所有必修内容，已经有了一定的基础知识和基本技能，对于直线和圆锥曲线已经有了系统的学习，因此对于本节课，他们是既熟悉又陌生，他们会带着一颗好奇的心进入这节课。

三、

教法学法分析：

教学过程中，要特别重视教法的设计和学法的指导。根据新课程改革的理论知识，坚持“以学生为主体，教师为主导”的原则，结合所教学生的特点，在教学过程中我主要采用启发学生自主探究和引导学生小组讨论的方法，并借助多媒体辅助教学来提高课堂效率。同时在探究问题时留给学生足够的时间，以利于开放学生的思维。在教学过程中尽量做到关注学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程。

四、

教学过程分析：

整个教学过程设计为如下五个教学环节：（一）创设问题情境，引入新课；（二）新知识形成；（三）巩固与实践

；（四）归纳小节；（五）布置作业

（一）

创设问题情境，引入新课

在必修2中学习直线方程时，我们知道利用直线上的一点M0和直线的倾斜角，便可以确定直线的方程，使用这种形式的方程可以研究直线的性质，也可以根

据直线上任意一点的横（或纵）坐标来求另一个坐标

。

提出问题：已知直线上一点M与直线上定点M0的距离如何确定点M的坐标呢？

通过回顾必修二中直线方程的研究方法，提出新的问题，以激发学生的求知欲。

探究一：如何将直线的点斜式方程转化成直线的参数方程？有了探究一的铺垫，学生很容易就能得出直线的参数方程，再用多媒体演示其推导过程，yy0k(xx0),(yy02)yy0tan(xx0)

sinyy0(xx0)(xx0),(0且)，

cossincos2cos设yy0(xx0)t，整理得xx0tcos(t为参数)。

sinyy0tsin探究二：向量法

求这条直线的方程.解:在直线上任取一点M(x,y),则M0M（x,y)(x0y0)(xx0,yy0)y设e是直线l的单位方向向量，则M(x,y)e(cos,sin)因为M0M//e,所以存在实数tR,M0(x0,y0)使M0Mte,即(xx0,yy0)t(cos,sin)exx0tcos,yy0tsin所以即，xx0tcos,yy0tsin(cos,sin)所以，该直线的参数方程为Oxx0tcos（t为参数）yytsin0思考:由M0Mte,你能得到直线l的参数方程中参数t的几何意义吗？解:问题：已知一条直线过点M0(x0,y0)，倾斜角，xM0MteM0Mte又e是单位向量，e1M0MteyMM0t

让学生体会知识的形成过程，建立新旧知识间的联系，学会直线普通方程和参数方程互化的方法。在推导过程中，学生容易忽略角的限制条件，教师要及时的启发引导；总结结论时，引导学生总结出方程中角的取值范围，完善知识内容，从而得出直线参所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.|t|=|M0M|eOx

数方程的标准形式，并且培养了学生逻辑思维的严谨性。

这个过程学生经历了由特殊到一般，有具体到抽象的探索过程，发散了学生的思维。

[来源:Zxxk.Co（二）

新知识形成：

1、

直线参数方程的标准形式：

xx0tcos(t为参数)

yy0tsin学生观察直线参数方程标准形式，分析其特点：如参数t的系数有什么关系？参数t的系数在什么样的实数范围内？引导学生自主探究，根据同角三角函数基本关系式及角的取值范围来得出结论，从而确定出判断直线参数方程标准形式的方法。由学生口答下面几道小题：

判断下列哪些是直线参数方程的标准形式，并指出直线经过的定点和斜率：

11x3tx3t（1）（2）

22(t为参数)(t为参数)y13ty13t221x3t（3）（4）x3t(t为参数)

2(t为参数)y1t3y1t2这几道小题各有特点，目的是加深学生对直线参数方程的标准形式的理解。

2、

参数t的几何意义：

由于参数t的取值与点M(x,y)是一一对应的关系，因此引导学生小组讨论：此时的t具有什么几何意义？t的正负与点M(x,y)的位置之间有什么关系？

这是本节课的难点，教师要根据各小组学生的讨论情况适时的启发引导。同时鼓励学生积极思考，大胆创新，培养思维的深刻性和多样性。

有的学生可能会通过直线参数方程的标准形式及其推导过程得出结论：

xx0tcos(xx0)2(yy0)2t2yy0tsin

(xx0)2(yy0)2|t|即|t|表示点M到点M0的距离，再由yy0(xx0)t中t的正负来确定y和sincosy0的大小，从而确定t的正负与点M的位置之间的关系；有的学生可能会利

用图像得出结论：

|t|M(x,y)AO???我们是否可以根据t的值来确定向量的方向呢?x

M0M我们知道e是直线l的单位方向向量，那么它的方向应该是向上还是向下的？还是有时向上有时向下呢？分析:此时,若则>0是直线的倾斜角，当0<<时t>0,,sinM0M的方向向上;又sin表示e的纵坐标，e的纵坐标都大于0若t<0,则那么e的终点就会都在第一，二象限，e的方向的点方向向下;M0M若t=0,则M与点就总会向上。M0重合.

M0M

pM1MM2M1M2M

①|t||MM0|，即|t|直线上任意一点M到定点M0之间的距离

当t0时,点M在点M0的上方②当t0时,点M在点M的下方

0当t0时,点M与点M重合0探究直线与曲线yf(x)交于M1,M2两点，对应的参数分别为t1,t2.(1)曲线的弦M1M2的长是多少？（2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？(1)M1M2t1t2(2)tt1t22

再由各组学生展示自己的成果，并且采用学生互评和教师点评相结合的方法对学生

的讲解方法和过程加以评价，帮助学生认识自我，树立自信心。通过这一环节，学生对参数的几何意义有了系统的认识，并且体会了数形结合的思想。体现了“以学生为主体，教师为主导”的教学理念。

（三）

巩固与实践：

例题的设计由浅入深，层层递进，逐步加深对参数几何意义的理解：

三、例题讲解【例1】π直线l经过点M0(1，5)，倾斜角为，且交直线x－y3－2＝0于M点，则|MM0|＝________．

1x＝1＋t，2解析

由题意可得直线l的参数方程为

3y＝5＋t2(t为参数)，

13代入直线方程x－y－2＝0，得1＋t－5＋t－2＝0，解得22t＝－6(3＋1)．

根据t的几何意义可知|MM0|＝6(3＋1)．

x3tsin200（1）直线（t为参数）的倾斜角是（B）0ytcos20A.200B.700C.1100D.16002x1t2（t为参数）2yt（2）直线xy10的一个参数方程是。2

例1是直线参数方程标准形式及其参数几何意义的最简单的应用，以增强学生的自信心，并且与引例相呼应，解决了引例中提出的问题，增强了学生的成就感。

例2例1.已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。分析:1.用普通方程去解还是用参数方程去解;2.分别如何解.AyM(-1,2)OBx3.点M是否在直线上

例2（1）如何写出直线l的参数方程？①（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2?①（3）AB、MAMB与t1，t2有什么关系？

变式1、求弦长|MN|. 变式2、如果将圆内的点换为圆外的点B(1,3)会有什么样的结论呢？

例2是将参数的几何意义应用于直线与圆的位置关系中，再通过两个变式总结出求弦长和与距离有关的问题的方法。在此基础上进一步拓展，给出变式3，将圆换成椭圆或其他的圆锥曲线，进一步总结出一般性结论——圆锥曲线的弦长及与距离有关的问题的解法。

[来源:学科网Z,X,X,K]22xy变式3、如果将圆换成椭圆1，上述方法还成立吗？（换成双曲线或抛物916

线呢？）

在处理例3及其变式时引导学生从多角度发现问题，用多种方法解决问题，以发散学生的思维。

通过这一环节，学生经历了由具体问题总结出一般结论的思维过程，学生的认识由感性逐步上升为理性，并且体会了参数几何意义的应用。

[来源:Zxxk.Com]解

法一

(1)由ρ＝25sin θ，得x2＋y2－25y＝0，

即x2＋(y－5)2＝5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3－22t＋222t＝5，即t2－32t＋4＝0. 2由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实

根，

t1＋t2＝3所以t2＝4.t1·2，

又直线l过点P(3，5)，

故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝

|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.

（四）

归纳小节：

由学生从知识内容和思想方法两方面总结本节课所学内容，以提高学生总结概括能力。

（五）

布置作业：

1、

基础题：教材39页1、2；54页9；

2、

能力题：教材41页5、6；55页6；

3、

课后探究题：教材55页1 针对不同的学生，进行分层训练，既使学生掌握了基础知识，又让学有余力的学生有所提高。课后探究题为下一节研究直线参数方程的一般式做铺垫。

板书：

2.2.1直线的参数方程

1.标准形式：xx0tcos(t为参数)

例：

yy0tsin

2.参数t的几何意义：

结论：

[来源:学科网