命题、定理、证明2教学实录与评析

5．3.2

命题、定理、证明

学习目标

1．理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论. (重点)

2．会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用．(难点)

教学过程

一、情境导入

下列语句在表述形式上，有什么共同特点？

（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（3）对顶角相等；

（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．

你的发现：这些语句都是对一件事情作出了判断.

二、合作探究

探究点一：命题的定义与结构

【类型一】

命题的判断

例题1判断下列四个语句中，哪个是命题，

哪个不是命题？并说明理由：

（1）对顶角相等吗？

（2）画一条线段AB=2cm

第

1 页

共

6 页

（3）两条直线平行，同位角相等

（4）相等的两个角，一定是对顶角

解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题. 理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题. 方法总结：①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或否定的判断．疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．

【类型二】

命题的结构

例题2观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流. （1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；

（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；

（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3。

（解析：都是“如果……那么……”的形式）

例题3把下列命题写成“如果……那么……”的形式并指出题设和结论．

1.对顶角相等；

2.内错角相等；

3.两直线被第三条直线所截，同位角相等；

4.同平行于一直线的两直线平行；

5.等角的补角相等.

第

2 页

共

6 页

方法总结：把命题写成“如果……那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．把命题写成“如果……那么……”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．所以命题的条件是“两条直线都与第三条直线平行”，结论是“这两条直线也互相平行”．

探究点二：真命题与假命题

例题4观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？

命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除

命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”

解析：命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题. 方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题；如果命题不正确，就是假命题．

探究点三：证明与举反例

1.公理的概念：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理. 2.定理的概念：有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据。

3.证明的概念：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作

第

3 页

共

6 页

出判断，这个推理过程叫作证明. 【类型一】

命题的证明

例题5已知：b∥c，

a⊥b

．求证：a⊥c．

b 1

c 2 a

证明：

∵

a ⊥b（已知）

∴

∠1=90°（垂直的定义） 又 b

∥ c（已知）

∴

∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等

∴

a ⊥

c（垂直的定义）.

【类型二】

举反例

思考：如何判定一个命题是假命题呢？

例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题

，可以举出如下反例

如图，OC是∠AOB的平分线，

∠1=∠2，但它们不是对顶角.

第

4 页

共

6 页

A O 1 ）

）

2 C

B 例题 1. 下列语句中，不是命题的是(

) A.两点之间线段最短

B.对顶角相等

C.不是对顶角不相等

D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线

2.下列命题中，是真命题的是(

) A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C. 若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 3.举反例说明下列命题是假命题．

(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；

(2)若ab＝0，则a＋b＝0.

4.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，求证：PG∥HQ.

第

5 页

共

6 页

证明：∵AB∥CD(已知)，

∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行，内错角相等)．

又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，

11∴∠GPQ＝2∠BPQ，∠HQP＝2∠CQP(角平分线的定义)，

∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，

∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．

方法总结：证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知与求证，然后进行证明．

三、板书设计

1.命题的定义:

判断一件事情的句子

2.命题的组成:

题设和结论

3.命题的分类：真命题和假命题

四、教学反思

本节课通过命题及其证明的学习，让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例．同时让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力

第

6 页

共

6 页