2.2.1 直线的参数方程10分钟试讲教案

直线的参数方程及应用

教学目标：

1.掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义

2.熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化

3.利用直线的参数方程求线段的长，求距离，求轨迹，与中点有关等问题

知识回顾：

1.直线的参数方程（标准式）

过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为____________________．

参数t的几何意义：_________ __________.

2.直线的参数方程（一般式）

会将一般方程化为标准方程。

要求学生会区分两个方程，了解两个方程中t的几何意义是不同的，b直线过点M(x0，y0)，斜率k=,直线l的参数方程为____________________．

a典例分析：

1

x1t2例1. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），总结：过定点M0y3t的直线与圆锥曲2xcos椭圆C的参数方程为

（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两y2sin点，求线段AB的长. 线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2．

弦长| M1M2|＝ |t1－t2|

1x1t2y221，将直线l的参数方程解：椭圆C的普通方程为x，代入4y3t22x21y1，得(1t)22416. 7(32

t)1621，即7t216t0，解得t10，t2.

47

总结：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为所以AB|t1t2|

1

2x＝3－t，2练***面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2y＝5＋t2

M1，M2，所对应的(t为参数分别为t1，t2．距离和

|M0M1|+|M0M2|＝参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝25sin θ．

(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)若点P坐标为(3，5)，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．

t1t2,t1t20

t1t2,t1t20

解：(1)由y＝＝5．

2x＝3－t，25＋2t2

得直线l的普通方程为x＋y－3－5＝0．

又由ρ＝25sin θ得圆C的直角坐标方程为x＋y－25y＝0，即x＋(y－5)2222

总结：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得

222223－t＋t＝5，即t－32t＋4＝0．

22由于Δ＝(32)－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实数根，

所以t1＋t2＝32．

又直线l过点P(3，5)，A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32．

练***面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)＋y＝1．直线l经过点P(m,0)，π且倾斜角为，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

6(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．

解：(1)曲线C的直角坐标方程为：(x－1)＋y＝1，即x＋y＝2x，即ρ＝2ρcos θ，

所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ．

3x＝m＋t，2直线l的参数方程为1y＝t222222222t2．距离积

|M0M1||M0M2|＝|t1t2|．

(t为参数)．

总结：过定点M0的直线与圆锥曲22(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x＋y＝2x中，

2

得t＋(3m－3)t＋m－2m＝0，

所以t1t2＝m－2m，由题意得|m－2m|＝1，

解得m＝1或m＝1＋2或m＝1－2．

练***面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极x31yt23t22222线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2．距离差的绝对值是

｜|M0M1|-|M0M2|｜＝坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，直线l的参数方程为：{（t为参数），直线l与C交于P1，P2两点．

（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；

（2）已知Q（3，0），求||P1Q|﹣|P2Q||的值

解

（1）曲线C的直角坐标方程是(x－2)＋y＝4 直线l的普通方程是x3y30

22t1t2,t1t20

t1t2,t1t20

总结：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为3x3t221（2）直线l的参数方程：（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程(x－2)yt2{＋y＝4得t3t30，t1t23，t1t23

22||P1Q|﹣|P2Q||＝||t1||t2||3

M1，M2，所对应的x23t(t是参数)它与练***面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为y24t参数分别为t1，曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．

（1）求|AB|的长；

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为t2．弦中点参数

t

1(t1t2)

2322，，求点P到线段AB中点M的距离．

43

x2t5(t是参数)，代入曲线C：解：（1）直线l的参数方程为（y﹣2）2﹣x2=1

y24t5

得t260t1250tt60，tt125

1212

3 77AB|t1t2|1071

7（2）P点的直角坐标是（－2，2）

AB中点M的参数t1(tt)30

12

利用椭圆的参数2730所以PM

7例2.. 已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为xatcos(t是参数)为ytsin方程表示距离，再根据三角函数性质求最值，求点坐标.

参数，θ为倾斜角），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为ρ﹣ρcosθ﹣4cosθ=0．

（1）写出曲线C的直角坐标方程；

（2）点Q（a，0），若直线l与曲线C交于A、B两点，求使值．

解：（1）曲线C的直角坐标方程为y24x

（2）直线l的参数方程代入曲线C得

21QA21QB2

为定值的

tsin4tcos4a0，tt4cos，tt4a

1212sin2sin222

利用两点间距离公式表示距离，再根据二次函数性质解最值。

2(tt)2t1t22cos2asin212＝

22＝22QAQB(t1t2)2a11当a2时，1QA21

2有定值为QB411x3t2练习1.在直角坐标系xy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原y3t2点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为23sin．

（1）写出曲线C的直角坐标方程；

（2）为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求的直角坐标．

解：（I）由23sin，得223sin，

从而有x2+y223y，所以x+y32

23.

(II)设P(313t,t)，又C(0,3)，则2222132|PC|3tt3t12，

22

4

故当t0时，C取最小值，此时点的直角坐标为3,0.

x＝2＋tcos α，2. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y＝3＋tsin α

(t是参数)，

以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝π8cosθ－．

3(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；

(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．

解：（1）曲线C2的直角坐标方程为x2y232216。是以2,23为圆

利用弦长公式表示｜AB｜再根据三角函数的性质求范围。

心，半径为4的圆

(2) 曲线C1的参数方程代入C2的直角坐标方程得t23sint130

212sin520，t1t223sin，t1t213

AB|t1t2|12sin252，

2当sin0时，AB213

当sin1时，AB8

x＝3cos α，练习3.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y＝sin α

(α为参

数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标π方程为ρsinθ＋＝22．

4(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

x2解：(1)C1的普通方程为＋y＝1．

3C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0．

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α)．

因为C2是直线，

所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，

π|3cos α＋sin α－4|d(α)＝＝2sinα＋－2．

32π当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角62

利用点到线的距离公式表示距离，再根据三角函数性质求最值。

5

31坐标为，．

222x＝t，2作业：1. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2y＝3＋t2

(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ．

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值． 2x＝m＋t，22.已知直线l的参数方程为2y＝2t

(t为参数)，以坐标原点为极点，2222x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ＋3ρsinθ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．

(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；

(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．

x1tcos{3.在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为ytsin（t为参数，0≤θ＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=﹣4cosα，圆C的圆心到直线l的距离为3. 2（1）求θ的值；

（2）已知P（1，0），若直线l与圆C交于A，B两点，求11的值．

PAPBxmt(t是参数)为参数）4. 已知直线l的参数方程为，以坐标原点为极点，xy3t轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ+4ρsinθ=4，直线l过曲线C的左焦点F．

（1）直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|；

（2）设曲线C的内接矩形的周长为c，求c的最大值．

2222x3cos5.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，y2sin

6

'1xx3将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'，以原点为极点，x轴的正半轴为1y'y2极轴，建立极坐标系．

（1）写出曲线C与曲线C'的极坐标的方程； 22，4（极坐标）且倾斜角为3的直线l与曲线C交于M，N两点，（2）若过点APAMAN弦MN的中点为P，求

的值．

总结：1.注意参数方程的形式

2.参数的符号

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