阅读与思考　为什么√2不是有理数优质教案设计

阅读思考

为什么

不是有理数

教学目标：

1.经历2的产生以及2是无限不循环小数的探索过程，认识无理数并使学生体验数学的发展离不开实践，探索与创造。

2.能用有理数估计2的大致范围，体会无理数与有理数的区别与联系。

3.了解反证法，了解反证法证明2不是无理数的过程，体会这一数学思想方法的好处。

教学重点

能用有理数估计2的大致范围，体会无理数与有理数的区别与联系。

教学难点

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程．

2.判断一个数是否为有理数．

3.无理数概念的建立及估算. 4.用所学定义正确判断所给数的属性. 教学准备

计算器、圆规、直尺、相关题目

课前预习

1.2

的大致范围是多少？

2. 什么是无理数？

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？

在小学我们学过自然数、小数、分数，在初一我们还学过负数. 我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 二、讲授新课

（一）问题的提出，大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形. 经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请自己拼的图展示一下. 现在我们一齐把大家的做法总结一下：

下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

1.a是正方形的边长，所以a肯定是正数. 2.因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a²=2. 3.由a²=2可判断a应是1点几. 那么a是整数吗？a是分数吗？

结论是：因为1²=1，2²=4，3²=9，整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数. 因为分数. 经过讨论可知，在等式a²=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了. 像上面讨论的数a不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也2就是我们前面谈过的a=2中的a不是有理数. 111224111,,，两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是224339339（二）2是多大的数？

请看图

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. 因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大. 大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？

22因为a大于1且a小于4，所以a大致为1点几. a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.1=1.21，1.2=1.44，1.3=1.69，1.4=2222

1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？

a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.

（三）求证：2不是有理数（反证法）

反证法介绍。

证明：假设2=a.其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则a22b2.可知a是偶数，设a=b2c,则4c22b2，b22c2，可知b也是偶数，因此a、b都是偶数，这与(a,b)=1矛盾！因此2是无理数. 数学史介绍：早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数. （四）你能在数轴上找到表示2的点吗？（PPT演示）

（五）课堂达标测试：完成PPT测试题。

（六）课堂小结：谈谈你这节课的收获！